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Fonctions trigonométriques et suites

Ce cours vise à consolider les notions fondamentales de trigonométrie et de suites numériques, deux piliers du programme de mathématiques du lycée. Vous y trouverez des explications…

10 questions~5 min
Fonctions trigonométriques et suites — Qwi
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1

Quel segment du diagramme du cercle unité représente la fonction tan(α) ?

2

Quelle est la période de la fonction y = sin x ?

3

Si α = π/6, quelle est la valeur de sin α ?

4

Quel est le signe de cos α pour un angle α compris entre π et 2π ?

5

Dans une suite arithmétique de raison d, quelle est la différence entre deux termes consécutifs ?

6

Quel est le terme général d’une suite géométrique de raison q (q≠1) ?

7

Quel est le domaine de définition de la fonction f(x)=tan x ?

8

Quelle est la valeur de cos (π) ?

9

Quel est le résultat de la limite limₓ→0 (sin x)/x ?

10

Quelle est la valeur maximale de la fonction y = cos x ?

Introduction aux fonctions trigonométriques et aux suites

Ce cours vise à consolider les notions fondamentales de trigonométrie et de suites numériques, deux piliers du programme de mathématiques du lycée. Vous y trouverez des explications détaillées, des exemples illustrés et des points clés pour réussir vos évaluations.

1. Le cercle unité et la fonction tangente

Le cercle unité est un cercle de rayon 1 centré à l'origine du repère orthonormé (O). Chaque angle α correspond à un point P sur le cercle dont les coordonnées sont (cos α, sin α). La fonction tangente s’interprète géométriquement comme le rapport entre le sinus et le cosinus :

  • tan α = sin α / cos α.

Sur le diagramme du cercle unité, le segment qui représente tan α est le segment OT vertical, où O est l’origine et T le point d’intersection de la droite passant par P et parallèle à l’axe des ordonnées avec la droite tangente au cercle en A (point (1,0)). Ce segment mesure exactement la valeur de tan α.

2. Période des fonctions trigonométriques

La notion de période décrit la distance sur l’axe des abscisses après laquelle une fonction reprend ses valeurs. Pour la fonction sinus :

  • y = sin x possède une période de 2π. Cela signifie que sin (x + 2π) = sin x pour tout réel x.

Cette propriété découle du fait que le cercle unité effectue un tour complet (360° ou 2π radian) lorsqu’on fait varier l’angle de 0 à 2π.

3. Valeurs particulières du sinus

Il est essentiel de connaître les valeurs exactes du sinus pour les angles usuels. Par exemple, pour α = π/6 (30°) :

  • sin (π/6) = 1/2.

Cette valeur provient du triangle rectangle isocèle de 30°‑60°‑90°, où le côté opposé à 30° mesure la moitié de l’hypoténuse.

4. Signe du cosinus selon le quadrant

Le signe du cosinus dépend du quadrant où se situe l’angle α. Pour les angles compris entre π et 2π (le troisième et le quatrième quadrant) :

  • cos α est négatif dans le troisième quadrant (π < α < 3π/2).
  • cos α reste négatif dans le quatrième quadrant (3π/2 < α < 2π) jusqu’à revenir à 1 à 2π.

Cette règle de signe est souvent résumée par le mnémotechnique « Tous les cosinus sont négatifs entre π et 2π ».

5. Suites arithmétiques

Une suite arithmétique est définie par une différence constante entre deux termes consécutifs, appelée raison d. La relation fondamentale est :

  • un+1 – un = d.

Donc, la différence entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique est exactement d, ni plus ni moins.

6. Suites géométriques

Dans une suite géométrique, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une constante appelée raison q (q ≠ 1). Le terme général s’écrit :

  • un = u1·qn‑1.

Cette formule permet de calculer directement n’importe quel terme à partir du premier terme u1 et de la raison q.

7. Domaine de définition de la fonction tangente

La fonction tangente est définie pour tous les réels sauf ceux où le cosinus s’annule, c’est‑à‑dire aux points π/2 + kπ (k ∈ ℤ). Ainsi, le domaine de définition de f(x) = tan x est :

  • ℝ \ {π/2 + kπ}.

Cette restriction provient du fait que tan x = sin x / cos x, et la division par zéro est indéfinie.

8. Valeur de cos π

Sur le cercle unité, l’angle π (180°) correspond au point diamétralement opposé à (1,0), soit le point (‑1,0). Le cosinus d’un angle correspond à l’abscisse du point, donc :

  • cos π = ‑1.

9. Synthèse et bonnes pratiques d’étude

Pour maîtriser ces concepts, voici quelques conseils :

  • Visualisez chaque fonction sur le cercle unité ou sur son graphe. Les représentations graphiques renforcent la compréhension.
  • Memorisez les valeurs clés (sin π/6 = 1/2, cos π = ‑1, période de sin et cos = 2π, etc.).
  • Appliquez les formules de suites arithmétiques et géométriques à des exercices concrets pour internaliser la différence entre une raison additive et multiplicative.
  • Vérifiez toujours le domaine de définition avant de manipuler une fonction, notamment pour tan x où les asymptotes jouent un rôle crucial.

10. Quiz de révision

Testez vos connaissances avec les questions suivantes :

  1. Quel segment du diagramme du cercle unité représente la fonction tan α ? Réponse : le segment OT vertical.
  2. Quelle est la période de la fonction y = sin x ? Réponse : 2π.
  3. Si α = π/6, quelle est la valeur de sin α ? Réponse : 1/2.
  4. Quel est le signe de cos α pour α ∈ (π, 2π) ? Réponse : négatif.
  5. Dans une suite arithmétique de raison d, quelle est la différence entre deux termes consécutifs ? Réponse : d.
  6. Quel est le terme général d’une suite géométrique de raison q (q≠1) ? Réponse : uₙ = u₁·qⁿ⁻¹.
  7. Quel est le domaine de définition de f(x)=tan x ? Réponse : ℝ \ {π/2 + kπ}.
  8. Quelle est la valeur de cos (π) ? Réponse : ‑1.

En révisant régulièrement ces points et en pratiquant des exercices variés, vous consoliderez votre maîtrise des fonctions trigonométriques et des suites, deux compétences essentielles pour les examens de mathématiques.