Introduction aux dérivées des fonctions usuelles
Les dérivées sont au cœur de l'analyse mathématique. Elles permettent de mesurer la variation instantanée d'une fonction et sont essentielles dans de nombreux domaines, de la physique à l'économie. Ce cours couvre les règles de dérivation les plus fréquentes rencontrées dans les exercices de lycée et de première année d'université, en s'appuyant sur les questions du quiz fourni.
1. Règle de dérivation des fonctions puissance
Formule générale
Pour toute fonction de la forme f(x)=x^n où n est un réel, la dérivée s'exprime ainsi :
- f'(x)=n·x^{n-1}
Cette règle provient directement de la définition limite de la dérivée et se généralise aux puissances fractionnaires.
Exemple : dérivée de f(x)=x^5
En appliquant la formule, on obtient f'(x)=5·x^{5-1}=5x^4. Cette réponse correspond à la première question du quiz.
Exemple : dérivée de f(x)=\sqrt{x^3}
On réécrit d'abord la fonction sous forme de puissance : \sqrt{x^3}=x^{3/2}. En appliquant la règle, f'(x)=\frac{3}{2}·x^{3/2-1}=\frac{3}{2}·x^{1/2}. Le résultat (3/2)\sqrt{x} apparaît dans le quiz.
2. Règle du produit
Formule
Si u(x) et v(x) sont deux fonctions différentiables, la dérivée du produit w(x)=u(x)·v(x) est donnée par :
- w'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x)
Application à w(x)=\ln(x)·\sqrt{x}
On identifie u(x)=\ln(x) (dont u'(x)=1/x) et v(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} (dont v'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}). En substituant :
w'(x)=\frac{1}{x}\cdot\sqrt{x}+\ln(x)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln(x)}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\left(1+\frac{\ln(x)}{2}\right). La forme simplifiée du quiz est (1/(2\sqrt{x}))·\ln(x)+ (1/x)·\sqrt{x}.
3. Domaine de dérivabilité
Fonction rationnelle f(x)=1/x
La fonction 1/x est définie sur \mathbb{R}\{0}. Sa dérivée f'(x)=-1/x^2 existe partout où la fonction elle‑même est définie, c’est‑à‑dire sur l’ensemble (-\infty,0)\cup(0,+\infty). Cette notion de domaine de dérivabilité apparaît dans la troisième question du quiz.
4. Dérivée des fonctions exponentielles
Fonction f(x)=e^{2x}
Pour une fonction exponentielle de la forme e^{k x}, la dérivée est k·e^{k x}. Ainsi, f'(x)=2e^{2x}, comme indiqué dans le quiz.
5. Dérivée du logarithme népérien
Fonction f(x)=\ln(x)
La dérivée de \ln(x) vaut 1/x pour x>0. Cette règle est la base de plusieurs exercices du quiz.
Fonction composée f(x)=\ln(x^2)
En utilisant la règle de la chaîne, f(x)=\ln(u) avec u=x^2. On a f'(x)=\frac{1}{u}\cdot u' = \frac{1}{x^2}\cdot 2x = \frac{2}{x}. La réponse correcte du quiz est donc 2/x.
6. Cas particuliers de dérivation
Produit g(x)=x·\ln(x)
Appliquons la règle du produit : u(x)=x (u'=1) et v(x)=\ln(x) (v'=1/x). On obtient g'(x)=1·\ln(x)+x·\frac{1}{x}=\ln(x)+1. Cette formule apparaît dans le quiz et est accompagnée d'une mnémotechnique simple.
Fonction puissance fractionnaire h(x)=1/x^2
Réécrivons h(x)=x^{-2}. En appliquant la règle de la puissance, h'(x)=-2·x^{-3}= -\frac{2}{x^3}. Le quiz confirme ce résultat.
7. Méthodes de mémorisation et astuces pratiques
- Puissances : « n avant le x^{n-1} » – l’exposant devient le coefficient, puis on soustrait 1 à l’exposant.
- Produit : « Dérive chaque facteur, puis additionne » – utile pour x·\ln(x) ou \ln(x)·\sqrt{x}.
- Chaîne : « F(x)=g(u(x)) → F'(x)=g'(u)·u' » – indispensable pour \ln(x^2) et les fonctions composées.
- Exponentielle : le facteur multiplicatif est toujours l’exposant du terme linéaire dans l’exposant.
8. Exercices d'application supplémentaires
Exercice 1
Calculer la dérivée de p(x)= (3x^2+5)·e^{x}.
Solution : u(x)=3x^2+5 (u'=6x) et v(x)=e^{x} (v'=e^{x}). Donc p'(x)=6x·e^{x}+(3x^2+5)·e^{x}=e^{x}(6x+3x^2+5).
Exercice 2
Déterminer le domaine de dérivabilité de q(x)=\sqrt{x^2-4}.
La fonction sous la racine doit être positive : x^2-4>0 \Rightarrow |x|>2. Ainsi, le domaine de dérivabilité est (-\infty,-2)\cup(2,+\infty).
Exercice 3
Quel est r'(x) pour r(x)=\frac{\ln(x)}{x} ?
Utiliser la règle du quotient : u=\ln(x), v=x. r'(x)=\frac{1/x·x-\ln(x)·1}{x^2}=\frac{1-\ln(x)}{x^2}.
9. Conclusion
Maîtriser les règles de dérivation des fonctions usuelles – puissances, produits, exponentielles et logarithmes – constitue une base solide pour aborder des problèmes plus complexes en analyse. En pratiquant régulièrement les exercices proposés et en appliquant les astuces de mémorisation, vous développerez une intuition rapide pour identifier la bonne méthode de dérivation.
Ce cours, structuré autour des questions du quiz, vous offre un guide complet et SEO‑optimisé pour réviser les concepts clés de la dérivation. N'hésitez pas à revenir sur chaque section, à refaire les exemples et à créer vos propres variantes afin de consolider votre compréhension.
