Proportionnalité et variations
Ce cours présente les notions fondamentales de proportionnalité, les différences entre proportionnalité directe et inverse, ainsi que les méthodes de calcul des variations absolues, relatives et des coefficients multiplicateurs. Toutes les définitions et formules proviennent des cartes d’apprentissage fournies.
1. Notion de proportionnalité
Une proportionnalité désigne la relation entre deux grandeurs dont le rapport reste constant. Ce rapport constant s’appelle le coefficient de proportionnalité.
Exemple : si la distance parcourue (d) est proportionnelle au temps (t) avec un coefficient de 5 km/h, alors d = 5 × t. Le coefficient de proportionnalité est ici 5.
2. Proportionnalité directe vs proportionnalité inverse
- Proportionnalité directe – Le rapport entre les deux grandeurs est constant : y / x = k. Ainsi, lorsque x augmente, y augmente proportionnellement.
- Proportionnalité inverse – Le produit des deux grandeurs est constant : x × y = k. Dans ce cas, lorsque x augmente, y diminue de façon inverse.
Identifier ce qui reste invariant (rapport ou produit) permet de déterminer le type de proportionnalité.
3. Formes algébriques
Une droite de la forme y = ax + b représente une proportionnalité uniquement si b = 0. Si b ≠ 0, la droite ne passe pas par l’origine (0,0) et la relation n’est pas proportionnelle.
4. Variations absolues et relatives
La variation absolue se calcule simplement comme :
Valeur finale − Valeur initiale
La variation relative en pourcentage s’obtient avec la formule :
(VF − VI) / VI × 100
où VF est la valeur finale et VI la valeur initiale.
5. Coefficients multiplicateurs
Pour une hausse de t %, le coefficient multiplicateur est :
1 + t/100
Pour une baisse de t %, le coefficient devient :
1 − t/100
Ces coefficients permettent de combiner plusieurs variations successives en les multipliant.
6. Exemples d’application
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Hausse successive de 10 % puis 5 % :
- Coefficient de la première hausse : 1 + 10/100 = 1,10
- Coefficient de la seconde hausse : 1 + 5/100 = 1,05
- Coefficient global : 1,10 × 1,05 = 1,155 (soit +15,5 %).
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Hausse de 20 % suivie d’une baisse de 20 % :
- Après la hausse, la valeur devient 1,20 fois la valeur de départ.
- La baisse de 20 % s’applique sur cette nouvelle valeur : coefficient = 1 − 20/100 = 0,80.
- Valeur finale = 1,20 × 0,80 = 0,96, soit 96 % du départ, donc la proposition « ramène à la valeur de départ » est fausse.
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Différence entre points de pourcentage et pourcentage relatif :
Un changement de 5 points de pourcentage ne correspond pas toujours à une hausse relative de 5 %. Par exemple, passer de 10 % à 15 % représente une hausse relative de 50 % (5/10 × 100).
7. Méthodes de résolution
Deux techniques courantes sont le produit en croix et la règle de trois :
| Technique | Principe |
|---|---|
| Produit en croix | a × d = b × c |
| Règle de trois | Isoler la variable après mise en proportion |
8. Dilution
Dans une dilution, la quantité de matière reste constante. Le volume ou la concentration change, mais la masse totale de soluté ne varie pas.
Cette notion illustre l’importance de distinguer ce qui demeure invariant (quantité de matière) de ce qui varie (concentration).
9. Récapitulatif des points clés
- Proportionnalité = rapport constant (coefficient de proportionnalité).
- Proportionnalité directe ↔ rapport constant ; proportionnalité inverse ↔ produit constant.
- Une vraie proportionnalité passe par l’origine (b = 0).
- Variation absolue = VF − VI ; variation relative = (VF − VI) / VI × 100.
- Coefficient multiplicateur d’une hausse = 1 + t/100 ; d’une baisse = 1 − t/100.
- Pour combiner plusieurs variations, multiplier les coefficients multiplicateurs.
- Produit en croix et règle de trois sont deux approches équivalentes pour résoudre des proportions.
- En dilution, la quantité de matière reste constante.
