Statistiques descriptives – Séance 6
Cette leçon résume les notions essentielles de la statistique descriptive, utiles pour analyser et interpréter des jeux de données. Chaque concept est présenté de façon claire, avec des définitions, des formules et des exemples d’utilisation.
Fréquence relative
La fréquence relative d’un caractère indique la proportion d’observations possédant ce caractère dans l’ensemble des données.
- Formule : Effectif du caractère ÷ effectif total
- Souvent exprimée en pourcentage pour faciliter la comparaison.
Moyenne
La moyenne arithmétique représente la valeur centrale d’une série lorsqu’on additionne toutes les valeurs et que l’on divise par le nombre total d’observations (effectif).
- Formule : Somme des valeurs ÷ effectif
- L’effectif est le nombre total d’observations.
Attention : la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes. Une ou plusieurs valeurs très grandes ou très petites peuvent la faire dévier considérablement de la tendance réelle du groupe.
Médiane
La médiane est la valeur qui occupe la position centrale d’une série ordonnée. Elle est presque indépendante des valeurs extrêmes : même si un outlier apparaît, la médiane reste stable tant que le nombre d’observations ne change pas.
- Utilisée lorsque la distribution est asymétrique ou contient des valeurs aberrantes.
- Privilégier la médiane quand les données sont fortement déséquilibrées.
Quand choisir la moyenne plutôt que la médiane ?
La moyenne est préférable dans les situations suivantes :
- Les données sont symétriques.
- Il n’y a pas de valeurs aberrantes significatives.
Dans ces cas, la moyenne exploite toutes les observations et fournit une mesure représentative de la tendance centrale.
Étendue
L’étendue mesure la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale d’une série.
- Formule : Valeur maximale − valeur minimale
- Elle donne une idée rapide de l’amplitude totale des données, mais ne tient pas compte de la distribution interne.
Écart‑type
L’écart‑type quantifie la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Il représente la distance moyenne entre chaque observation et la moyenne de la série.
- Il prend en compte toutes les écarts, contrairement à l’étendue qui ne regarde que les extrêmes.
- Un écart‑type faible indique que les valeurs sont regroupées près de la moyenne ; un écart‑type élevé montre une plus grande variabilité.
Représentations graphiques
Différents graphiques permettent de visualiser la distribution et la dispersion des données.
- Histogramme : représente la fréquence des classes, mais ne montre pas les cinq repères (minimum, Q1, médiane, Q3, maximum).
- Boîte à moustaches (ou diagramme en boîte) : résume la dispersion et les valeurs extrêmes d’une série. Elle indique le minimum, le premier quartile (Q1), la médiane, le troisième quartile (Q3) et le maximum.
Valeurs aberrantes
Une valeur aberrante (ou outlier) est une observation très différente du reste du jeu de données. Elle influence fortement la moyenne, mais la médiane reste généralement stable.
- Faux : une valeur aberrante ne déplace pas toujours la médiane.
- Utiliser la médiane lorsqu’on suspecte la présence d’outliers.
Exemple d’application
Supposons un jeu de données : 12, 15, 15, 18, 20, 22, 100.
- Effectif total = 7.
- Moyenne = (12+15+15+18+20+22+100) ÷ 7 ≈ 30,3.
- Médiane = 18 (valeur du milieu).
- Étendue = 100 − 12 = 88.
- Écart‑type ≈ 35,2 (calcul détaillé hors champ).
On voit que la moyenne est tirée vers le haut par la valeur 100, alors que la médiane reste représentative du groupe principal.
Résumé des concepts clés
| Concept | Définition | Utilisation principale |
|---|---|---|
| Fréquence relative | Effectif du caractère ÷ effectif total | Comparer la proportion d’un caractère dans le total |
| Moyenne | Somme des valeurs ÷ effectif | Données symétriques, absence d’outliers |
| Médiane | Valeur du milieu d’une série ordonnée | Distributions asymétriques, présence d’outliers |
| Étendue | Valeur maximale − valeur minimale | Mesure rapide de l’amplitude totale |
| Écart‑type | Distance moyenne entre chaque valeur et la moyenne | Évaluer la dispersion globale |
| Boîte à moustaches | Diagramme montrant min, Q1, médiane, Q3, max | Visualiser dispersion et outliers |
Maîtriser ces indicateurs permet d’analyser efficacement n’importe quel jeu de données, d’identifier les tendances centrales, la variabilité et les éventuelles valeurs atypiques.
