Introduction aux intervalles de confiance
Un intervalle de confiance (IC) fournit une fourchette d’estimations plausibles pour un paramètre inconnu, telle que la probabilité que l’intervalle contienne la vraie valeur du paramètre soit égale au niveau de confiance choisi. Le niveau de confiance le plus couramment utilisé est 95 %, ce qui signifie que, sur un grand nombre d’échantillons répétés, 95 % des intervalles construits contiendront la vraie valeur du paramètre.
Quand un estimateur converge‑t‑il ?
Un estimateur convergent possède deux propriétés essentielles :
- Le biais tend vers zéro lorsque la taille de l’échantillon augmente ; c’est‑à‑dire que l’espérance de l’estimateur s’approche du vrai paramètre.
- La variance tend également vers zéro, ce qui rend l’estimation de plus en plus précise.
Ces deux conditions assurent que, pour un échantillon suffisamment grand, l’estimateur se rapproche de la valeur théorique.
Forme générale d’un intervalle de confiance
L’expression standard d’un IC pour un paramètre θ̂ est :
θ̂ ± z_α·Sd(θ̂)
où z_α est le quantile de la loi normale standard correspondant au niveau de confiance choisi (par exemple, z_α = 1,96 pour 95 %). Sd(θ̂) désigne l’erreur‑type (ou l’écart‑type) de l’estimateur.
Niveau de confiance et α
Le paramètre α représente la probabilité d’erreur, soit α = 1 – niveau de confiance. Ainsi, pour un IC à 95 %, α = 0,05.
Construction d’un IC pour la moyenne
Lorsque l’on estime la moyenne d’une population à partir d’un échantillon de taille N, on utilise généralement la loi de Student si N est petit, ou la loi normale si N est grande. La forme de l’IC est alors :
ȳ ± t_α·(S/√N)
où t_α est le quantile de la loi de Student avec N‑1 degrés de liberté, et S est l’écart‑type de l’échantillon.
Exemple : pour une moyenne estimée θ̂ = –19,31 avec un IC à 95 %, la borne inférieure est –19,31.
Impact de la taille d’échantillon
Plus N augmente, plus l’erreur‑type diminue (S/√N devient plus petite), ce qui rend l’IC plus étroit et donc plus précis.
Estimation d’une proportion
Pour une proportion p (par exemple, la proportion de succès dans une enquête), l’estimateur est :
p̂ = Σx_i / N
où chaque x_i vaut 1 pour un succès et 0 sinon. L’erreur‑type de p̂ s’obtient avec la formule :
√[p̂(1‑p̂)/N]
Cette expression provient de la variance d’une variable binomiale.
Limites de la convergence vers la loi normale
La loi binomiale ne converge pas toujours vers la loi normale. La convergence est fiable uniquement lorsque n est grand et que p n’est ni trop proche de 0 ni de 1. Dans les petits échantillons, il faut recourir à des approximations exactes ou à la loi binomiale elle‑même.
Différence de deux moyennes
Lorsque l’on compare deux groupes indépendants, on s’intéresse à la différence de leurs moyennes (X̅‑Y̅). L’erreur‑type de cette différence est :
√(S_x²/N + S_y²/M)
où S_x et S_y sont les écarts‑type des deux échantillons, et N et M leurs tailles respectives.
IC pour la différence de moyennes
L’IC s’écrit alors :
(X̅‑Y̅) ± t_α·√(S_x²/N + S_y²/M)
Le quantile t_α provient de la loi de Student avec N+M‑2 degrés de liberté. Cette différence de forme avec l’IC d’une moyenne simple (qui utilise z_α) reflète le fait que l’on combine deux estimations indépendantes.
Interprétation de la présence de zéro
Si l’IC de la différence de moyennes inclut la valeur 0, on ne peut pas conclure à une différence statistiquement significative entre les deux groupes. En d’autres termes, le traitement ou l’intervention n’est pas considéré comme ayant un effet distinct.
Résumé des points clés
- Un estimateur converge lorsque son biais et sa variance tendent tous deux vers zéro.
- Un IC à 95 % correspond à α = 0,05 et utilise le quantile z_α = 1,96 (ou t_α selon le contexte).
- Pour la moyenne, on utilise ȳ ± t_α·(S/√N). Pour la différence de deux moyennes, on utilise (X̅‑Y̅) ± t_α·√(S_x²/N + S_y²/M).
- L’estimation d’une proportion se fait avec p̂ = Σx_i/N et son erreur‑type √[p̂(1‑p̂)/N].
- Un plus grand N réduit la largeur de l’IC, augmentant la précision de l’estimation.
- La présence de 0 dans un IC de différence indique un résultat non significatif.
