Topologie des espaces métriques

Introduction à la topologie des espaces métriques

Les espaces métriques constituent le cadre fondamental où se rencontrent la géométrie et l’analyse. Ils permettent de formaliser les notions de distance, de convergence, de continuité et de fermeture, essentielles en mathématiques pures et appliquées. Ce cours, structuré autour de questions typiques d’un quiz, développe les concepts clés : fermeté d’un sous‑ensemble, critère de Cauchy, boules ouvertes dans la norme sup (ou norme max), et le théorème de la contraction.

1. Fermeté d’un sous‑ensemble dans un espace métrique

Définition et caractérisation

Dans un espace métrique (E,d), un sous‑ensemble A est fermé si son complémentaire E\A est ouvert. Cette caractérisation équivalente est souvent la plus utilisée car elle s’appuie directement sur la définition topologique d’un ouvert.

Une autre façon de voir la fermeture consiste à examiner les valeurs d’adhérence (ou points limites) de A :

• Un point x∈E est une valeur d’adhérence de A si toute boule ouverte centrée en x intersecte A.
• Le adhérence de A, notée \overline{A}, est l’ensemble de A union de toutes ses valeurs d’adhérence.

Le critère suivant est alors équivalent :

A est fermé ⇔ A contient toutes ses valeurs d’adhérence.

Cette formulation met en avant l’aspect « limite » de la fermeture, très utile pour les démonstrations par contraposée ou par passage à la limite.

2. Le théorème de la contraction et le taux de convergence

Contexte et énoncé

Soit (E,d) un espace métrique complet et f : E → E une contraction, c’est‑à‑dire qu’il existe un réel k∈(0,1) tel que

d(f(x),f(y)) ≤ k·d(x,y) pour tous x,y∈E.

Le théorème du point fixe de Banach affirme que f possède un unique point fixe a∈E (c’est‑à‑dire f(a)=a) et que, pour tout point de départ x₀∈E, la suite itérative définie par

xₙ₊₁ = f(xₙ)

converge vers a.

Taux de convergence

Le taux de convergence est exponentiel et s’exprime précisément par l’inégalité suivante :

d(xₙ,a) ≤ kⁿ·d(x₁,x₀) pour tout n≥0.

Cette formule montre que chaque itération multiplie l’erreur précédente par le facteur k, qui étant strictement inférieur à 1, entraîne une décroissance rapide. En pratique, cela signifie que peu d’itérations suffisent pour obtenir une précision élevée, ce qui explique l’efficacité des méthodes de point fixe en calcul numérique.

3. Boules ouvertes dans la norme max (ou norme ∞)

Définition de la distance d₈

Dans ℝⁿ, on définit la distance dite max (ou ∞) par

d₈(x,y) = max_{i=1,…,n} |x_i - y_i|.

Cette distance provient de la norme ‖x‖_∞ = max_i |x_i|. Elle induit la même topologie que la norme euclidienne, mais les formes géométriques des boules diffèrent.

Forme d’une boule ouverte

Une boule ouverte de centre a = (a₁,…,aₙ) et de rayon r>0 est l’ensemble

{ x∈ℝⁿ | d₈(x,a) < r } = Π_{i=1}^{n} (a_i - r , a_i + r).

Autrement dit, il s’agit d’un cube ouvert (ou hyper‑cube) dont chaque côté a pour longueur 2r. Cette description est très pratique pour visualiser les voisinages dans ℝⁿ muni de la norme max.

4. Critère de Cauchy dans un espace métrique

Définition

Une suite (x_n) dans un espace métrique (E,d) est dite de Cauchy si, pour tout ε>0, il existe un rang N tel que

d(x_m, x_n) < ε pour tous m,n ≥ N.

Ce critère exprime que les termes de la suite deviennent arbitrairement proches les uns des autres à partir d’un certain rang, indépendamment de la présence éventuelle d’une limite dans E. Dans un espace complet, toute suite de Cauchy converge effectivement.

Exemple d’utilisation

Pour vérifier la Cauchy‑ité d’une suite, on commence souvent par estimer d(x_{n+1},x_n) puis on utilise l’inégalité triangulaire pour majorer d(x_m,x_n) en fonction de la somme des écarts consécutifs. Si cette somme peut être rendue inférieure à ε en choisissant N suffisamment grand, la suite est de Cauchy.

5. Fermeture et ouverture de l’intervalle [0,1] dans ℝ

Topologie usuelle de ℝ

Dans la topologie usuelle (définie par la distance euclidienne), un intervalle fermé [a,b] possède les propriétés suivantes :

• Il contient ses points extrêmes a et b.
• Son complémentaire ℝ\[a,b] est l’union de deux ouverts : (-∞,a) et (b,∞).

Par conséquent, [0,1] est fermé (car son complémentaire est ouvert) mais pas ouvert (aucune boule centrée en 0 ou 1 ne reste entièrement dans l’intervalle).

Pourquoi cet intervalle n’est‑il pas ouvert ?

Un ensemble est ouvert si, pour chaque point qu’il contient, on peut trouver une petite boule entièrement contenue dans l’ensemble. Au bord de [0,1], les points 0 et 1 ne possèdent aucun voisinage ouvert inclus dans [0,1] : toute boule autour de 0 (ou 1) déborde en dehors de l’intervalle. Ainsi, l’intervalle n’est pas ouvert.

6. Synthèse des concepts clés

• Fermeté : A est fermé ⇔ son complémentaire est ouvert ⇔ A contient toutes ses valeurs d’adhérence.
• Contraction : Une fonction contractante possède un unique point fixe et la suite itérative converge avec le taux d(xₙ,a) ≤ kⁿ·d(x₁,x₀).
• Boule dans la norme max : Produit cartésien d’intervalles ouverts, forme d’un hyper‑cube.
• Suite de Cauchy : Pour tout ε>0, il existe N tel que ∀m,n≥N, d(x_m,x_n)<ε.
• Intervalle [0,1] dans ℝ : fermé mais non ouvert dans la topologie usuelle.

7. Applications et exercices supplémentaires

Exercice 1 – Vérifier la fermeture d’un ensemble

Considérez l’ensemble A = {x∈ℝ | x ≤ 0}. Déterminez s’il est fermé en utilisant les deux critères présentés.

Exercice 2 – Convergence d’une contraction

Dans ℝ, définissez f(x) = 0.5x. Partant de x₀ = 4, calculez x₁, x₂, x₃ et estimez d(x₃,0) à l’aide du taux de convergence.

Exercice 3 – Boule dans ℝ² avec la norme max

Tracez la boule ouverte de centre (2,‑1) et de rayon 3 dans le plan. Identifiez ses sommets et décrivez son interior.

Exercice 4 – Suite de Cauchy

Montrez que la suite définie par x_n = 1/n est de Cauchy dans ℝ. Utilisez le critère de Cauchy pour justifier la convergence vers 0.

Exercice 5 – Topologie de l’intervalle fermé

Dans ℝ, examinez l’ensemble B = (0,1) ∪ {2}. Déterminez s’il est ouvert, fermé ou ni l’un ni l’autre.

Conclusion

Ce cours a présenté les notions fondamentales de la topologie des espaces métriques, en s’appuyant sur des questions de type quiz pour illustrer chaque concept. La maîtrise de la fermeté, du critère de Cauchy, des boules dans la norme max et du théorème de la contraction constitue une base solide pour aborder des sujets plus avancés tels que les espaces de Banach, les espaces de Hilbert ou la théorie des mesures. En pratiquant les exercices proposés, l’étudiant consolide sa compréhension et développe son aisance à raisonner dans des cadres métriques variés.