Suites arithmétiques et fonctions affines

Introduction aux suites arithmétiques et aux fonctions affines

Les suites arithmétiques et les fonctions affines sont deux notions fondamentales du programme de mathématiques du collège et du lycée. Elles permettent de modéliser des phénomènes linéaires, de résoudre des problèmes de croissance ou de décroissance, et de développer une compréhension solide du concept de raison et de pente. Cette leçon se base sur un questionnaire type quiz afin d’illustrer chaque concept avec des exemples concrets et des explications détaillées.

1. Suites arithmétiques : définition et forme explicite

Une suite arithmétique est une suite de nombres où la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante s’appelle la raison (notée r).

1.1 Forme récurrente vs forme explicite

On distingue deux façons d’écrire une suite arithmétique :

• Forme récurrente : u₀ est donné et uₙ₊₁ = uₙ + r (ou uₙ₊₁ = uₙ – r selon le signe).
• Forme explicite : uₙ = u₀ + n·r. Cette expression permet de calculer directement le n‑ième terme sans passer par les précédents.

1.2 Exemple : suite définie par u₀ = 7 et uₙ₊₁ = uₙ – 4

Dans ce cas, la raison vaut r = –4. En appliquant la forme explicite :

uₙ = 7 + n·(–4) = 7 – 4n.

Cette réponse correspond à la première question du quiz : uₙ = 7 – 4n.

1.3 Calcul du rang du premier terme négatif

Considérons la suite vₙ avec v₀ = 5 et raison r = –2. Le terme général est :

vₙ = 5 + n·(–2) = 5 – 2n.

On cherche le plus petit n tel que vₙ < 0 :

5 – 2n < 0 ⇒ 2n > 5 ⇒ n > 2,5. Le premier entier supérieur est n = 3. La réponse du quiz confirme ce résultat.

2. Applications pratiques des suites arithmétiques

2.1 Problème d’entraînement : dépassement de 5000 m

Supposons qu’un coureur parcourt chaque jour une distance qui forme une suite arithmétique croissante. Le tableau suivant (exemple tiré du quiz) indique que le rang n = 14 est le premier où la distance totale dépasse 5000 m. Cette information provient d’une somme partielle :

Sₙ = u₀ + u₁ + … + uₙ = (n+1)·(u₀ + uₙ)/2.

En résolvant l’inéquation Sₙ > 5000, on trouve n = 14. Cette démarche montre l’utilité des suites arithmétiques pour modéliser des progressions cumulatives.

3. Fonctions affines : définition, pente et sens de variation

Une fonction affine s’écrit sous la forme f(x) = ax + b, où a est la pente (ou coefficient directeur) et b l’ordonnée à l’origine.

3.1 Calcul de la pente

La pente se calcule à partir de deux points (x₁, f(x₁)) et (x₂, f(x₂)) :

a = (f(x₂) – f(x₁)) / (x₂ – x₁).

Par exemple, pour la fonction f(x) = 3x + 2, la pente est simplement a = 3. Le quiz confirme cette réponse.

3.2 Sens de variation d’une fonction affine

Le signe de a détermine le sens de variation :

• Si a > 0, la fonction est croissante.
• Si a < 0, la fonction est décroissante.
• Si a = 0, la fonction est constante.

Dans le quiz, la fonction g(x) = 7 – 6x possède a = –6, donc elle est décroissante.

3.3 Détermination d’une fonction affine à partir de deux points

On veut trouver f telle que f(–2) = 4 et f(3) = 1. En appliquant la formule de la pente :

a = (1 – 4) / (3 – (–2)) = (–3) / 5 = –3/5.

On utilise ensuite l’un des points pour déterminer b :

4 = (–3/5)(–2) + b ⇒ 4 = 6/5 + b ⇒ b = 4 – 6/5 = 20/5 – 6/5 = 14/5 = 2/5.

La fonction recherchée est donc f(x) = –3/5 x + 2/5, réponse correcte du quiz.

3.4 Astuce mnémotechnique

Pour retenir la procédure, pensez à la phrase : « Pente = Δy/Δx, puis ordonnée = y – pente·x ». Visualisez la pente comme la glissade d’une montagne : plus la différence de hauteur (Δy) est petite comparée à la distance (Δx), plus la pente est douce (fraction).

4. Exercices d’application supplémentaires

4.1 Calcul d’un terme d’une suite arithmétique

Si uₙ = 3 + 5n, quel est u₅ ?

En substituant n = 5 :

u₅ = 3 + 5·5 = 3 + 25 = 28.

Le quiz indique u₅ = 28 comme bonne réponse.

4.2 Raison d’une suite arithmétique

Pour la suite vₙ définie par v₀ = –3 et vₙ₊₁ = vₙ – 4, la raison est r = –4. Cette valeur apparaît dans la première question du quiz.

5. Résumé des points clés

• Une suite arithmétique possède une raison constante r ; sa forme explicite est uₙ = u₀ + n·r.
• Le rang du premier terme négatif se trouve en résolvant u₀ + n·r < 0 pour n entier.
• Une fonction affine s’écrit f(x) = ax + b. La pente a se calcule avec deux points connus.
• Le signe de a indique le sens de variation : a > 0 → croissante, a < 0 → décroissante.
• Pour déterminer b, substituez l’un des points dans l’équation f(x) = ax + b.

Maîtriser ces notions vous permettra de résoudre rapidement des problèmes de progression linéaire, que ce soit en mathématiques pures ou dans des contextes appliqués comme la physique, l’économie ou les sciences sociales.

6. Conseils pour réussir les exercices

• Lire attentivement l’énoncé : identifiez si la suite est croissante ou décroissante, et notez la valeur du premier terme.
• Utiliser la forme explicite dès que possible pour éviter les calculs itératifs.
• Vérifier les signes lorsqu’on calcule la pente d’une fonction affine ; une inversion de signe est l’erreur la plus fréquente.
• Faire un tableau de valeurs pour visualiser rapidement le comportement d’une suite ou d’une fonction.
• Contrôler le résultat en remplaçant le terme trouvé dans l’équation de départ.