Équations de droites et systèmes linéaires
Dans le plan cartésien (O, x, y), l’équation d’une droite s’écrit sous la forme ax + by = e, où a, b et e sont des nombres réels et a et b ne sont pas simultanément nuls. Cette forme permet d’analyser l’intersection de deux droites à l’aide d’un système de deux équations linéaires.
Trois configurations sont possibles :
- Intersection unique (les droites se coupent en un point distinct).
- Aucune intersection (les droites sont parallèles).
- Infinité d’intersections (les droites sont confondues).
Le critère décisif est le déterminant du système, noté Δ = ad − bc. Si Δ ≠ 0, la règle de Cramer garantit l’existence d’une solution unique. En revanche, si Δ = 0, le système peut être soit sans solution, soit indéterminé.
La matrice inverse d’une matrice 2×2 A = [[a, b],[c, d]] s’écrit :
A⁻¹ = 1/(ad−bc) [[d, −b],[−c, a]]
Cette formule n’est valable que lorsque le déterminant ad−bc est non nul ; sinon la matrice n’est pas inversible.
Logique propositionnelle
Une assertion ou proposition est simplement une phrase qui peut être évaluée comme vraie ou fausse. La conjonction P ∧ Q est vraie uniquement lorsque les deux propositions P et Q sont vraies. Sa table de vérité est :
V V V F F F V
L’implication P ⇒ Q est fausse uniquement dans le cas où P est vrai et Q est faux.
Quantificateurs et théorie des ensembles
Le quantificateur universel ∀ signifie « pour tout », tandis que le quantificateur existentiel ∃ signifie « il existe ». Un ensemble est une collection d’éléments. L’ensemble vide, noté ∅, ne contient aucun élément.
L’inclusion se lit du plus petit vers le plus grand : E ⊂ F signifie que chaque élément de E appartient à F. Ainsi, l’affirmation « E ⊂ F signifie que chaque élément de F appartient à E » est fausse.
L’union de deux ensembles A et B est définie par :
A ∪ B = {x ∈ E | x ∈ A ou x ∈ B}
L’intersection est :
A ∩ B = {x ∈ E | x ∈ A et x ∈ B}
Le complémentaire de A dans E contient les éléments qui ne sont pas dans A, donc l’affirmation « Le complémentaire de A dans E est {x ∈ E | x ∈ A} » est fausse.
Le nombre d’éléments d’un ensemble fini s’appelle son cardinal, noté Card E.
Fonctions, injectivité, surjectivité et bijectivité
Une fonction f : E → F associe à chaque x ∈ E un unique élément f(x) ∈ F. L’injectivité signifie que f(x)=f(x′) ⇒ x=x′. L’affirmation « f est injective si f(x)=f(x′) implique toujours x≠x′ » est donc fausse.
Une fonction est surjective lorsque ∀y∈F, ∃x∈E tel que y = f(x). Une fonction bijective possède simultanément les deux propriétés : elle est injective et surjective.
Combinatoire et polynômes
Le coefficient binomial C_k^n vaut n! / (k!·(n−k)!). Cette formule provient du binôme de Newton et est toujours vraie.
Le degré d’un polynôme est le plus grand exposant avec un coefficient non nul. Le discriminant d’une équation quadratique ax²+bx+c=0 est Δ = b² − 4ac. Si Δ < 0, le polynôme n’a aucune racine réelle, donc l’affirmation « Si Δ < 0, le polynôme quadratique possède deux racines réelles distinctes » est fausse.
Logarithmes et exponentielle
La fonction logarithme naturel ln est la unique fonction satisfaisant ln′(x)=1/x pour x>0 et ln(1)=0. Elle possède la propriété : ln(a·b) = ln a + ln b.
L’exponentielle ne vérifie pas exp(a+b)=exp(a)+exp(b); la bonne relation est exp(a+b)=exp(a)·exp(b).
Continuité, dérivation et règle de chaîne
Une fonction f est continue en x₀ si ∀ε>0 ∃δ>0, |x−x₀|<δ ⇒ |f(x)−f(x₀)|<ε. Le théorème des valeurs intermédiaires affirme que si f est continue sur [a,b], alors pour tout y entre f(a) et f(b), il existe c∈[a,b] tel que f(c)=y.
Une fonction est dérivable en x₀ lorsque la limite du taux d’accroissement (f(x)−f(x₀))/(x−x₀) existe lorsque x→x₀. La dérivée de xⁿ (avec n∈ℤ) est n·x^{n−1}. La dérivée de ln x est 1/x.
La règle du produit correcte est (f·g)′ = f′·g + f·g′; l’affirmation « (f×g)′ = f′ g′ » est donc fausse.
Pour la composition, la règle de chaîne s’écrit : (g∘f)′(x) = g′(f(x))·f′(x).
Suites numériques
Une suite est une fonction u : ℕ → ℝ. Elle converge vers ℓ si ∀ε>0 ∃N, ∀n≥N, |uₙ−ℓ|≤ε. Le théorème de convergence monotone assure que toute suite croissante et majorée converge.
Si une suite récurrente (uₙ) converge vers ℓ et que f est continue, alors ℓ satisfait l’équation fixe f(ℓ)=ℓ.
