Introduction au taux de variation
Le taux de variation est une notion centrale en mathématiques, physique et économie. Il mesure comment une quantité change par rapport à une autre sur un intervalle donné. Cette leçon explore les trois interprétations principales du taux de variation, les méthodes de calcul, et la transition vers la notion de dérivée lorsque l’intervalle devient infinitésimal.
Les trois interprétations du taux de variation
Le taux de variation peut être compris sous trois angles distincts, chacun correspondant à un domaine d’application :
- Interprétation graphique : il s’agit de la pente de la sécante reliant deux points du graphe d’une fonction.
- Interprétation cinématique : il représente la vitesse moyenne d’un corps sur un intervalle de temps.
- Interprétation économique : il correspond au coût marginal, c’est‑à‑dire le coût moyen d’une unité supplémentaire produite.
Interprétation graphique
Dans le plan cartésien, la pente de la sécante entre deux points (\(x_1, f(x_1)\) et \(x_2, f(x_2)\)) est donnée par :
\[\text{taux de variation}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\]
Cette expression mesure l’inclinaison moyenne de la courbe entre les deux abscisses.
Interprétation cinématique
En physique, la vitesse moyenne d’un objet entre deux instants \(t_a\) et \(t_b\) est exactement le taux de variation de la fonction position \(s(t)\) :
\[v_{\text{moy}}=\frac{s(t_b)-s(t_a)}{t_b-t_a}\]
Cette valeur représente la distance parcourue par unité de temps sur l’intervalle considéré.
Interprétation économique
En économie, le coût marginal est le coût additionnel engendré par la production d’une unité supplémentaire. Il s’obtient en calculant le taux de variation du coût total \(C(q)\) par rapport à la quantité \(q\) :
\[\text{coût marginal}=\frac{C(q_2)-C(q_1)}{q_2-q_1}\]
Cette notion aide les entreprises à optimiser leur production.
Calcul du taux de variation : exemple détaillé
Considérons la fonction \(d(t)=2t^{2}+3t\). Nous voulons déterminer le taux de variation entre \(t=3\) s et \(t=5\) s.
- Calculer les valeurs de la fonction aux bornes :
- \(d(5)=2\times5^{2}+3\times5=2\times25+15=65\)
- \(d(3)=2\times3^{2}+3\times3=2\times9+9=27\)
- Appliquer la formule du taux de variation :
\[\frac{d(5)-d(3)}{5-3}=\frac{65-27}{2}=\frac{38}{2}=19\ \text{m/s}\]
Le résultat, 19 m/s, représente à la fois la pente de la sécante du graphe de \(d(t)\) et la vitesse moyenne du chariot entre 3 s et 5 s.
Relation entre vitesse moyenne et taux de variation
Lorsque le taux de variation calculé correspond à une vitesse moyenne, on peut affirmer que la vitesse moyenne du chariot entre 3 s et 5 s est bien de 19 m/s. Cette affirmation est vraie, car le calcul du taux de variation a donné exactement cette valeur.
Comportement du taux de variation quand l’intervalle se rétrécit
Examinons la fonction \(f(x)=x^{2}\) autour du point \(x=2\). En réduisant progressivement l’intervalle autour de 2, on observe les taux de variation suivants :
- Entre 2 et 4 : \(\frac{4^{2}-2^{2}}{4-2}=\frac{16-4}{2}=6\)
- Entre 2 et 3 : \(\frac{3^{2}-2^{2}}{3-2}=\frac{9-4}{1}=5\)
- Entre 2 et 2,5 : \(\frac{2,5^{2}-2^{2}}{2,5-2}=\frac{6,25-4}{0,5}=4,5\)
À mesure que l’intervalle se resserre, le taux de variation diminue et tend vers la valeur de la dérivée de \(f\) en \(x=2\), qui est \(f'(2)=2\times2=4\). Ainsi, le taux de variation « augmente » dans le sens où il se rapproche de 4, la valeur exacte de la dérivée.
Passage à la dérivée : la limite du taux de variation
Lorsque l’intervalle \(h\) devient très petit, le taux de variation converge vers la dérivée :
\[\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)\]
C’est la définition fondamentale de la dérivée comme limite du taux de variation. Cette notion relie les interprétations précédentes à l’analyse infinitésimale.
Application pratique : vitesse moyenne d’un objet
Pour illustrer le concept, calculons la vitesse moyenne d’un objet dont la position est donnée par \(s(t)\) entre \(t=0\) et \(t=1\). En appliquant la formule du taux de variation :
\[v_{\text{moy}}=\frac{s(1)-s(0)}{1-0}=s(1)-s(0)\]
Le résultat représente la variation de la hauteur (ou de la position) par unité de temps, soit la vitesse moyenne.
Résumé des points clés
- Le taux de variation possède trois interprétations : graphique (pente de la sécante), cinématique (vitesse moyenne) et économique (coût marginal).
- Il se calcule avec la formule \((f(b)-f(a))/(b-a)\).
- Lorsque l’intervalle se réduit, le taux de variation tend vers la dérivée de la fonction en ce point.
- En physique, le taux de variation donne directement la vitesse moyenne d’un corps.
- En économie, il fournit le coût marginal, essentiel pour la prise de décision.
Conclusion
Maîtriser le taux de variation permet de passer d’une vision globale (variation moyenne sur un intervalle) à une vision locale (dérivée) qui décrit le comportement instantané d’une fonction. Cette transition est au cœur de l’analyse mathématique et trouve des applications concrètes en physique et en économie.
