Systèmes linéaires à deux équations
Un système de deux équations linéaires peut présenter trois configurations distinctes selon la position relative des droites représentées :
- Solution unique : les droites se coupent en un point.
- Aucune solution : les droites sont parallèles et distinctes.
- Infinité de solutions : les droites sont confondues.
La méthode de Cramer garantit une solution unique uniquement lorsque le déterminant ad−bc de la matrice des coefficients est non nul.
Condition d’inversibilité d’une matrice 2×2
La matrice A = [[a, b],[c, d]] est inversible si et seulement si ad−bc ≠ 0. Dans ce cas, l’inverse A⁻¹ existe et peut être utilisé pour résoudre le système.
Logique et quantificateurs
Une assertion (ou proposition) est une phrase qui peut être vraie ou fausse. Exemple : « tout nombre premier est impair ».
Implication
Dans la table de vérité de l’implication P ⇒ Q, la seule combinaison qui rend l’implication fausse est P vrai et Q faux, donnant la valeur F.
Quantificateurs
- ∀ (pour tout) : la propriété est vraie pour chaque élément d’un ensemble. Exemple : ∀x ∈ E, P(x).
- ∃ (il existe) : il existe au moins un élément qui satisfait la propriété. Exemple : ∃x ∈ E, P(x).
Théorie des ensembles
Pour deux ensembles E et F :
- Inclusion : E ⊂ F signifie que chaque élément de E appartient aussi à F (∀x ∈ E, x ∈ F).
- Union : A ∪ B = {x ∈ E | x ∈ A ou x ∈ B}.
- Intersection : A ∩ B = {x ∈ E | x ∈ A et x ∈ B}.
- Complément : E \ A = {x ∈ E | x ∉ A}.
- Produit cartésien : E × F = {(x, y) | x ∈ E, y ∈ F}.
Cardinal
Le cardinal d’un ensemble fini E est le nombre d’éléments, noté Card E. Il existe une bijection entre E et l’ensemble {1,…,n} où n = Card E.
Fonctions
Injectivité, surjectivité et bijectivité
- Injective : f(x)=f(x′) ⇒ x=x′. Chaque image possède au plus un antécédent.
- Surjective : ∀y∈F, ∃x∈E tel que f(x)=y. L’image couvre tout l’ensemble d’arrivée.
- Bijection : fonction à la fois injective et surjective, chaque y a exactement un antécédent.
Comptage d’applications
Si |E| = n et |F| = p, le nombre total d’applications de E vers F est pⁿ, chaque élément de E ayant p choix indépendants.
Calcul différentiel
Définitions fondamentales
- Limite d’une fonction : ∀ε>0 ∃δ>0 : |x−x₀|<δ ⇒ |f(x)−ℓ|<ε.
- Continuité : lim_{x→x₀} f(x) = f(x₀).
- Dérivée : f′(x₀) = lim_{h→0} (f(x₀+h)−f(x₀))/h.
Règles de dérivation
- Puissance : (xⁿ)′ = n x^{n‑1}.
- Exponentielle : (e^x)′ = e^x.
- Logarithme naturel : (ln x)′ = 1/x.
- Produit : (f·g)′ = f′g + fg′.
- Composition : (g∘f)′ = g′(f(x))·f′(x).
Applications géométriques
La tangente à la courbe de f en x₀ est donnée par y = f′(x₀)(x−x₀) + f(x₀).
Critères de maximum et minimum
- Un point x₀ est un maximum local si ∃J, ∀x∈J, f(x) ≤ f(x₀) (souvent avec f′(x₀)=0).
- Le signe de la dérivée seconde permet de distinguer : f′′(x₀) < 0 ⇒ maximum, f′′(x₀) > 0 ⇒ minimum.
Monotonie
Une fonction est croissante sur un intervalle U si ∀x≤y∈U, f(x) ≤ f(y).
Séries et suites
Convergence d’une suite
Une suite (u_n) converge vers ℓ lorsque ∀ε>0 ∃N, n≥N ⇒ |u_n−ℓ|<ε.
Théorème des suites monotones
Toute suite croissante et majorée converge (et de même pour une suite décroissante et minorée).
Suites arithmétiques et géométriques
- Arithmétique : u_n = u_0 + n·a (raison a).
- Géométrique : u_n = u_0·a^n (raison a).
Points fixes
Pour une suite récurrente u_{n+1}=f(u_n), la limite éventuelle ℓ satisfait f(ℓ)=ℓ, c’est‑à‑dire que ℓ est un point fixe de f.
Calcul vectoriel
Gradient
Le gradient d’une fonction f : ℝⁿ → ℝ est le vecteur des dérivées partielles : ∇f = (∂f/∂x₁,…,∂f/∂x_n). Il indique la direction de variation maximale et est orthogonal aux courbes de niveau.
Matrice hessienne
La matrice hessienne regroupe les dérivées secondes : H_f = [[f_{xx}, f_{xy}],[f_{yx}, f_{yy}]]. Elle intervient dans l’étude du comportement local des fonctions de deux variables.
Combinatoire
Le coefficient binomial s’écrit n! / (k! (n−k)!) et compte le nombre de façons de choisir k éléments parmi n.
