Algèbre – Équations et inéquations

Tester une solution d’une équation

Pour savoir si un nombre k est solution d’une équation, on remplace la variable x par k dans chaque membre, on calcule séparément les deux côtés, puis on compare les résultats. Si les deux valeurs sont égales, k est bien une solution.

Procédure pas à pas

1. Remplacer x par le nombre proposé.
2. Calculer chaque membre indépendamment.
3. Comparer les deux résultats obtenus.

Tester une solution d’une inéquation

Le principe est similaire, mais on vérifie la véracité de l’inéquation après substitution. Si l’inéquation obtenue est vraie, le nombre testé est solution ; sinon, il ne l’est pas.

Exemple

Pour x ≥ 3, l’ensemble des solutions s’écrit [3 ; +∞[. On utilise un crochet fermé à 3 (inclus) et un crochet ouvert vers +∞ (non borné).

Transformations autorisées sur les deux membres

Les opérations suivantes conservent l’équivalence d’une équation :

• Ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres.
• Multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre non nul.

Attention : diviser par zéro n’est jamais autorisé, car la division par zéro n’est pas définie.

Manipuler les signes

Le signe « − » placé devant une parenthèse se distribue à chaque terme : −(a − b) = -a + b. Cette règle est indispensable lorsqu’on déplace des termes d’un côté à l’autre.

Résoudre une équation du premier degré

Pour une équation de la forme ax + b = cx + d, la méthode générale comporte trois étapes :

1. Développer les deux membres si nécessaire.
2. Regrouper tous les termes contenant x d’un côté et les constantes de l’autre.
3. Diviser par le coefficient de x (qui doit être non nul) pour isoler la variable.

Exemple : dans 3x = -12 - 6, on simplifie le côté droit pour obtenir 3x = -18, puis on divise par 3 pour obtenir x = -6.

Comparer deux expressions algébriques

Pour comparer 5x - 2 et -3x + 4, on soustrait l’une de l’autre :

A - B = (5x - 2) - (-3x + 4) = 8x - 6. Le signe de 8x - 6 détermine la relation entre les deux expressions :

• Si 8x - 6 > 0, alors 5x - 2 > -3x + 4.
• Si 8x - 6 = 0, les deux expressions sont égales.
• Si 8x - 6 < 0, alors 5x - 2 < -3x + 4.

Attention aux changements de sens dans les inéquations

Lorsque l’on multiplie ou divise une inéquation par un nombre négatif, le sens de l’inéquation s’inverse. Ainsi, l’affirmation « Lorsque l’on divise une inéquation par un nombre négatif, le sens reste le même » est fausse.

Pièges fréquents

Le piège le plus courant lors du déplacement d’un terme d’un membre à l’autre est d’oublier de changer son signe. Chaque terme qui change de côté doit voir son signe inversé.

Différence entre vérification d’une équation et d’une inéquation

Pour une équation, on teste l’égalité des deux membres après substitution. Pour une inéquation, on teste si l’inéquation est vraie (satisfaite) après substitution. Cette distinction guide la façon dont on valide une solution.

Résumé des points clés

• Tester une solution d’équation : remplacer, calculer, comparer.
• Tester une solution d’inéquation : remplacer, calculer, vérifier la vérité.
• Opérations autorisées : même addition/soustraction, même multiplication/division (non nul).
• Division par zéro est interdite.
• Distribuer le signe négatif : −(a − b) = -a + b.
• Notation d’intervalle pour les solutions d’inéquations.
• Comparer deux expressions en étudiant le signe de leur différence.
• Inverser le sens d’une inéquation lorsqu’on multiplie ou divise par un nombre négatif.
• Ne jamais oublier de changer le signe d’un terme déplacé.