Topologie des espaces métriques

Topologie des espaces métriques : concepts clés

Ce cours synthétique regroupe les notions fondamentales de la topologie dans les espaces métriques, telles que présentées dans le questionnaire « Topologie des espaces métriques ». Chaque sous‑section développe une question du quiz, fournit une explication détaillée et propose des repères mémoriels pour faciliter l’apprentissage et le référencement SEO.

1. Points intérieurs et voisinages

Dans un espace métrique (E, d), un point a est dit intérieur d’un sous‑ensemble A lorsqu’il existe un voisinage V de a tel que V ⊂ A. Cette définition repose sur la notion de boule ouverte : il suffit de trouver un rayon r > 0 avec la boule B(a, r) entièrement contenue dans A.

• À retenir : l’existence d’un voisinage complet différente d’une simple intersection avec A.
• Exemple typique : dans ℝ, le point 2 est intérieur de l’intervalle (1,3) car la boule B(2,0.5) = (1.5,2.5) est incluse.

2. Distance d’un point à un sous‑ensemble

Pour x ∈ E et A ⊂ E, la distance d(x, A) se définit par d(x, A) = \inf_{y \in A} d(x, y). Elle mesure le plus petit écart possible entre x et les points de A. Le critère essentiel est :

• d(x, A) = 0 si et seulement si x appartient à la clôture de A (\overline{A}).

Cette propriété découle du fait que, si d(x, A) = 0, on peut construire une suite d’éléments de A qui converge vers x, ce qui signifie que x est un point d’adhérence de A.

• À retenir : distance zéro ↔ x ∈ \overline{A}.

3. Uniforme continuité et fonction quadratique

Dans ℝ muni de la distance euclidienne, la fonction f(x) = x² n’est pas uniformément continue. La définition d’uniforme continuité exige l’existence d’un δ qui fonctionne pour tous les points x du domaine. Or, pour f, le choix de δ dépend de la valeur de |x| : plus |x| est grand, plus il faut un δ petit pour garantir |f(x) - f(y)| < ε.

• Illustration : si ε = 1, choisir δ = 0.1 fonctionne autour de x = 0, mais échoue pour x = 100 où il faut δ ≈ 0.005.
• À retenir : l’uniformité requiert un δ global, indépendant de x.

4. Distances équivalentes et même topologie

Deux distances d₁ et d₂ sur le même ensemble E sont dites équivalentes lorsqu’il existe des constantes positives c, C telles que c·d₁(x, y) ≤ d₂(x, y) ≤ C·d₁(x, y) pour tous x, y ∈ E. Cette relation implique que les boules ouvertes définies par d₁ et d₂ s’incluent mutuellement à facteur constant, ce qui entraîne que les familles d’ouverts coïncident.

• Conclusion : les deux distances engendrent exactement la même topologie.
• À retenir : distance équivalente → même topologie.

5. Théorème de Heine – continuité uniforme sur un compact

Le théorème de Heine affirme que toute fonction continue définie sur un espace métrique **compact** est automatiquement **uniformément continue**. La compacité garantit que chaque recouvrement ouvert possède une sous‑couverture finie, ce qui permet de choisir un δ valable globalement.

• Conséquence immédiate : sur un compact, aucune fonction continue ne peut « échouer » à être uniformément continue.
• À retenir : Compact → continuité = uniformité.

6. Ensembles fermés dans un espace métrique complet

Dans un espace métrique complet, un sous‑ensemble F est fermé si et seulement s’il contient **toutes les limites** de ses suites convergentes. Autrement dit, toute suite (x_n) ⊂ F qui converge dans l’espace doit avoir sa limite ℓ appartenant à F.

• Cette caractérisation repose sur le principe de complétude : chaque suite de Cauchy converge, et la fermeture assure que la limite reste dans le même ensemble.
• À retenir : fermé ↔ stabilité par passage à la limite.

7. Critère de compacité dans ℝ (corollaire 3.3)

Dans le cadre de la droite réelle ℝ, le corollaire 3.3 (théorème de Heine‑Borel) stipule que un sous‑ensemble A est compact ⇔ A est fermé et borné. Cette condition est à la fois nécessaire et suffisante :

• Exemple : l’intervalle fermé [a, b] est compact, alors que l’intervalle ouvert (a, b) ne l’est pas, malgré sa bornitude.
• À retenir : Fermé + borné = compact sur ℝ.

8. Convergence d’une suite dans un intervalle ouvert

Considérons la suite (x_n) définie par x_n = 1/n dans l’espace métrique X = ]0,1[. Bien que la suite converge vers 0 dans ℝ, 0 n’appartient pas à X. Par conséquent, la suite **ne converge pas** dans X, car la limite doit appartenir à l’espace considéré.

• Cette situation illustre la différence entre convergence dans un espace plus grand (ℝ) et convergence dans le sous‑espace X.
• À retenir : si la limite potentielle est hors de l’ensemble, la suite n’a pas de convergence dans cet espace.

Résumé des notions essentielles

• Intérieur d’un ensemble : existence d’un voisinage entièrement contenu.
• Distance point‑ensemble : zéro ↔ appartenance à la clôture.
• Uniforme continuité : δ global, indépendamment du point de départ.
• Distances équivalentes : même topologie sous‑jacente.
• Théorème de Heine : continuité → uniformité sur un compact.
• Fermeture dans un complet : stabilité par limites de suites.
• Compacité sur ℝ : fermé + borné (Heine‑Borel).
• Convergence dans un sous‑espace : la limite doit appartenir à l’espace.

En maîtrisant ces concepts, vous disposez d’une base solide pour aborder les problèmes avancés de topologie métrique, que ce soit en analyse réelle, en géométrie ou en théorie des espaces fonctionnels.