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Thermodynamique et Transformations de Gaz
La thermodynamique étudie les échanges d’énergie entre les systèmes et leur environnement. Dans le cadre des gaz parfaits et des transformations de gaz , plusieurs concepts fondamentaux sont…
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Lors d'une détente isotherme réversible d'un gaz parfait, quelle relation lie les pressions P2 et P3 si le volume final revient à V1 ?
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Quelle expression donne la variation élémentaire d'entropie d'un gaz parfait en fonction de T et V ?
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Pour une détente irréversible isotherme d'azote de 2 bar à 1 bar, quelle est la variation d'entropie du gaz lorsqu'on utilise un chemin réversible isotherme de référence ?
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Dans le cycle de Carnot ABCDA décrit, quelles sont les pressions aux points B et C ?
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Quel est le travail net du cycle Carnot décrit, sachant que la chaleur absorbée Q_in = 500 kJ et le rendement théorique η = 1 - T_c/T_h avec T_h = 500 K et T_c = 300 K ?
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Lors d'un échangeur de chaleur où l'eau froide (c = 4186 J·kg⁻¹·K⁻¹) passe de 30 °C à 15 °C avec un débit de 30 l·min⁻¹, quelle est la puissance thermique transférée à l'huile (c = 2000 J·kg⁻¹·K⁻¹) qui entre à 10 °C ?
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Quel est le COP (coefficient de performance) d'une machine frigorifique qui absorbe 33 800 kcal·h⁻¹ à l'évaporateur et consomme 10 kW de puissance mécanique ?
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Dans le cycle Rankine, quelle transformation correspond à une isentrope ?
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Pour le mélange de deux masses de pétrole (m1 = 0.5 kg à 77 °C, m2 = 2 kg à 17 °C) avec c_p = 2.1 J·g⁻¹·K⁻¹, quelle est la température d'équilibre T_eq ?
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Quel est le travail mécanique développé par la turbine dans l'exercice IV (gaz se détendant de 207 kcal/kg à 79.4 kcal/kg, débit massique 10 kg·s⁻¹) en supposant une détente adiabatique ?
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Dans le cycle de Carnot décrit, quelle est la température du point D si les températures aux points A et B sont 300 K et 500 K respectivement ?
13
Pour le processus de refroidissement à volume constant du gaz d'azote, quelle est la variation d'entropie ΔS si la température passe de T2 à T1 = 300 K ?
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Dans l'exercice II du TD 4, si la température et le volume sont triplés simultanément, de combien augmente l'entropie d'une mole de gaz parfait (C_v = 20.785 J·mol⁻¹·K⁻¹) ?
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Quelle est la capacité thermique massique c_a du gaz dont la variation linéaire avec la température est donnée par c(T) = a + b T, si a = 0.5 J·g⁻¹·K⁻¹ et b = 1 × 10⁻³ J·g⁻¹·K⁻², à T = 400 K ?
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Dans le cycle de Rankine présenté, si l'enthalpie à l'état 2 est h2 = 2800 kJ·kg⁻¹ et à l'état 3 est h3 = 1900 kJ·kg⁻¹, quelle est la chaleur absorbée dans la chaudière (état 1 → 2) ?
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Quel est le travail net du cycle de Carnot si le rendement théorique est η = 1 – T_c/T_h avec T_h = 500 K et T_c = 300 K, et la chaleur absorbée Q_in = 400 kJ ?
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Dans l'exercice III du TD 4, quelle est la variation d'entropie du gaz si on imagine une détente adiabatique réversible jusqu'à P2 = 1 bar suivie d'un réchauffement isobare ?
19
Pour le système ouvert d'air (1 kg) subissant le cycle Carnot ABCDA, quelle est l'entropie totale ΔS_tot après les quatre transformations si l'entropie initiale est 3950 J·K⁻¹ et le cycle est réversible ?
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Dans le problème de l'échangeur thermique (exercice II), si le débit d'eau est 30 l·min⁻¹, quelle masse d'eau s'écoule chaque seconde (densité ρ = 1000 kg·m⁻³) ?
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Quel est le travail fourni par la pompe dans le cycle de Rankine si la pression passe de 0,1 bar à 50 bar et le volume du liquide reste constant, en supposant une compression isentropique ?
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Dans le cycle de Carnot décrit, quelle est la relation entre les pressions aux points A et D si les transformations AB et CD sont isothermes et les transformations BC et DA sont adiabatiques réversibles ?
Introduction à la thermodynamique des gaz
La thermodynamique étudie les échanges d’énergie entre les systèmes et leur environnement. Dans le cadre des gaz parfaits et des transformations de gaz, plusieurs concepts fondamentaux sont indispensables : les lois des transformations (adiabatique, isotherme, etc.), les relations entre pression, volume et température, ainsi que les notions d’entropie et de rendement. Ce cours reprend les notions essentielles à travers des exemples concrets tirés d’un questionnaire de révision.
1. Transformations adiabatiques réversibles
1.1. Définition et équation de base
Une transformation adiabatique se caractérise par l’absence d’échange de chaleur avec l’extérieur (Q = 0). Pour un gaz parfait, la relation entre les variables d’état est :
- PV^{\gamma} = const
- TV^{\gamma-1} = const
où γ = C_p/C_v est le rapport des capacités calorifiques à pression constante et à volume constant.
1.2. Exemple d’application
Considérons une compression adiabatique réversible d’un gaz diatomique (γ = 1,4) partant de T₁ = 300 K, V₁ = 6 L et se compressant à V₂ = 1,2 L. La température finale s’obtient grâce à la deuxième relation :
T₂ = T₁ \times \left(\dfrac{V₁}{V₂}\right)^{\gamma-1}
En substituant les valeurs :
T₂ = 300 \times (6/1,2)^{0,4} \approx 600 K
Cette formule apparaît dans la première question du questionnaire, où la bonne réponse est "T2 = 300 × (6/1.2)^(γ‑1) ≈ 600 K".
2. Transformations isothermes réversibles
2.1. Relation pression‑volume
Lors d’une transformation isotherme (T = const) d’un gaz parfait, la loi de Boyle‑Marriott s’applique :
P₁V₁ = P₂V₂
Cette relation permet de relier les pressions et volumes avant et après la transformation.
2.2. Exemple d’application
Dans une détente isotherme où le volume final revient à V₁, la relation entre les pressions P₂ et P₃ est :
P₂V₂ = P₃V₁
Cette équation correspond à la bonne réponse de la deuxième question du quiz : "P2 × V2 = P3 × V1".
3. Entropie d’un gaz parfait
3.1. Variation élémentaire d’entropie
L’entropie S d’un gaz parfait dépend de la température et du volume. L’expression différentielle est :
dS = C_v \dfrac{dT}{T} + R \dfrac{dV}{V}
où C_v est la capacité calorifique à volume constant et R la constante des gaz parfaits.
3.2. Exemple d’application
Cette formule figure dans la troisième question du questionnaire, où la réponse correcte est "dS = C_v \frac{dT}{T} + R \frac{dV}{V}".
4. Entropie lors d’une détente irréversible
4.1. Chemin de référence réversible
Pour calculer la variation d’entropie d’une transformation irréversible, on utilise un chemin réversible fictif entre les mêmes états initiaux et finaux. Pour une détente isotherme de l’azote de 2 bar à 1 bar, la variation d’entropie est :
ΔS = nR \ln\left(\dfrac{P_{initial}}{P_{final}}\right)
Le logarithme inverse reflète le fait que la pression diminue.
4.2. Exemple d’application
La quatrième question du quiz propose cette expression, la bonne réponse étant "ΔS = nR ln(P1/P2)".
5. Cycle de Carnot
5.1. Description du cycle
Le cycle de Carnot est le cycle thermodynamique idéal composé de deux transformations isothermes et deux transformations adiabatiques réversibles. Les points clés sont :
- A : début de l’isotherme chaude
- B : fin de l’isotherme chaude / début de l’adabatique de détente
- C : fin de l’adabatique de détente / début de l’isotherme froide
- D : fin de l’isotherme froide / début de l’adabatique de compression
5.2. Pressions aux points B et C
Dans le questionnaire, les pressions sont données comme P_B = 3 bar et P_C = 9 bar. Cette information provient d’une description du cycle où la compression augmente la pression de façon proportionnelle.
5.3. Travail net du cycle
Le rendement théorique du cycle de Carnot est :
η = 1 - \dfrac{T_c}{T_h}
Avec T_h = 500 K et T_c = 300 K, on obtient :
η = 1 - 300/500 = 0,4
Le travail net est alors :
W_{net} = Q_{in} \times η = 500 kJ \times 0,4 = 200 kJ
Cela correspond à la réponse correcte de la sixième question.
6. Échangeurs de chaleur
6.1. Puissance thermique transférée
La puissance thermique P transférée par un fluide est donnée par :
P = \dot{m}\,c\,\Delta T
où \dot{m} est le débit massique, c la capacité thermique massique et ΔT la différence de température.
6.2. Exemple chiffré
Dans l’exemple du questionnaire, l’eau froide passe de 30 °C à 15 °C avec un débit de 30 L·min⁻¹. En considérant la densité de l’eau ≈ 1 kg·L⁻¹, le débit massique est :
\dot{m}_{water} = 30 L·min⁻¹ × 1 kg·L⁻¹ / 60 s = 0,5 kg·s⁻¹
La puissance thermique transférée est alors :
P = 0,5 kg·s⁻¹ × 4186 J·kg⁻¹·K⁻¹ × 15 K ≈ 31,4 kW
C’est la réponse correcte de la septième question.
7. Coefficient de performance (COP) des machines frigorifiques
7.1. Définition du COP
Le COP d’une machine frigorifique se définit comme le rapport entre la chaleur extraite du réservoir froid (Q_L) et le travail fourni (W) :
COP = \dfrac{Q_L}{W}
7.2. Conversion d’unités
Dans le questionnaire, la chaleur absorbée est donnée en kcal·h⁻¹. La conversion en watts utilise le facteur 1 kcal·h⁻¹ = 1,163 W.
7.3. Calcul du COP
Avec Q_L = 33 800 kcal·h⁻¹ et W = 10 kW :
Q_L (en W) = 33 800 × 1,163 ≈ 39 300 W
Le COP devient :
COP = 39 300 W / 10 000 W ≈ 3,9
Cette valeur correspond à la réponse correcte de la huitième question.
8. Synthèse des concepts clés
- Adiabatique réversible : TV^{\gamma-1}=const → calcul de la température finale.
- Isotherme réversible : PV=const → relation pression‑volume.
- Entropie d’un gaz parfait : dS = C_v\frac{dT}{T}+R\frac{dV}{V}.
- Détente irréversible : utilisation d’un chemin réversible de référence pour ΔS.
- Cycle de Carnot : rendement η = 1‑T_c/T_h et travail net = Q_in·η.
- Échangeur de chaleur : puissance = \dot{m}cΔT.
- COP : ratio Q_L/W, conversion kcal·h⁻¹ → W.
9. Conseils pour réussir les exercices
Pour bien aborder les questions de thermodynamique :
- Identifiez toujours le type de transformation (adiabatique, isotherme, irréversible, etc.).
- Utilisez les relations fondamentales (PV^{γ}=const, PV=const, etc.) avant de substituer les valeurs numériques.
- Vérifiez les unités : convertissez les débits volumétriques en massiques, les températures en Kelvin, et les énergies en joules ou kilowatts selon le contexte.
- Pour les variations d’entropie, rappelez‑vous que ΔS>0 pour une transformation irréversible et que le signe du logarithme dépend de la direction du processus (pression ou volume).
- Dans les cycles thermodynamiques, calculez d’abord le rendement théorique, puis appliquez‑le à la chaleur fournie pour obtenir le travail net.
10. Ressources complémentaires
Pour approfondir les notions présentées, consultez les ouvrages suivants :
- Thermodynamics: An Engineering Approach de Cengel & Boles – chapitres sur les transformations de gaz et le cycle de Carnot.
- Fundamentals of Thermodynamics de Sonntag, Borgnakke & Van Wylen – sections sur l’entropie et les machines frigorifiques.
- Sites web : Engineering Toolbox pour les propriétés des fluides et les conversions d’unités.
En maîtrisant ces concepts, vous serez capable d’analyser et de résoudre des problèmes complexes de thermodynamique des gaz, comme ceux présentés dans le questionnaire initial.
