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Microéconomie du consommateur – fonctions d'utilité

La microéconomie du consommateur étudie comment un individu maximise son bien‑être à partir d’un budget limité. Les concepts clés sont les fonctions d’utilité , les marges (utilité…

10 questions~5 min
Microéconomie du consommateur – fonctions d'utilité — Qwi
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1

Quel bien le consommateur préfère‑t‑il recevoir lorsque U(x;y)=x^{1/2}y^{1/2} et qu'il possède (3;4) ?

2

Pour la fonction U(x;y)=x^{3/4}y^{1/4}, quel est le taux marginal de substitution TMS(x→y) au point (3;4) ?

3

Si le prix de X augmente alors que le revenu et le prix de Y restent constants, quel type de déplacement subit la droite de budget ?

4

Quel est le point optimal (x*;y*) pour U(x;y)=x^{1/2}y^{1/2}, B=80€, Px=4€, Py=2€ ?

5

Quelle est la pente de la droite de budget lorsque Px=1€ et Py=2€ ?

6

Dans le cas de biens substituables parfaits U(x;y)=4x+2y, quel critère détermine le bien acheté exclusivement à l'optimum ?

7

Quel est le TMS(x→y) pour la fonction U(x;y)=x^{2/3}y^{1/3} ?

8

Quel est le nombre maximal de biens X qu'un consommateur peut acheter avec B=80€, Px=4€ (sans acheter Y) ?

9

Quelle équation représente la courbe d'indifférence de U(x;y)=x·y passant par le point (4;6) ?

10

Quel est le critère qui garantit que les courbes d'indifférence ne se croisent jamais ?

Introduction à la microéconomie du consommateur

La microéconomie du consommateur étudie comment un individu maximise son bien‑être à partir d’un budget limité. Les concepts clés sont les fonctions d’utilité, les marges (utilité marginale), le taux marginal de substitution (TMS), la droite de budget et les conditions d’optimalité. Ce cours reprend les notions testées dans le questionnaire et les développe de façon pédagogique et SEO‑optimisée.

1. Fonctions d’utilité et utilité marginale

Une fonction d’utilité U(x, y) représente le niveau de satisfaction d’un consommateur qui consomme x unités du bien X et y unités du bien Y. Deux formes classiques apparaissent souvent :

  • Cobb‑Douglas : U(x,y)=x^{a}y^{1-a} avec 0.
  • Linéraire (substituables parfaits) : U(x,y)=αx+βy.

Pour chaque bien, on calcule l’utilité marginale (MU) en dérivant la fonction par rapport à la variable correspondante :

  • MUX = ∂U/∂x
  • MUY = ∂U/∂y

Exemple : pour U(x,y)=√{x y}, on obtient

  • MUX = ½ √{y/x}
  • MUY = ½ √{x/y}

En évaluant ces marges au point (3;4), on trouve MUX≈0,58 et MUY≈0,43, ce qui montre que le consommateur préfère le bien X à ce niveau de consommation.

2. Le taux marginal de substitution (TMS)

Le TMS mesure la quantité du bien Y que le consommateur est prêt à sacrifier pour obtenir une unité supplémentaire de X, tout en maintenant le même niveau d’utilité. Formellement :

TMSx→y = (∂U/∂x) / (∂U/∂y)

Dans les fonctions Cobb‑Douglas, le TMS dépend du rapport des exposants :

  • Pour U(x,y)=x^{3/4} y^{1/4}, le TMS au point (3;4) vaut 4.
  • Pour U(x,y)=x^{2/3} y^{1/3}, le TMS simplifie en 2y/x.

Ces résultats illustrent deux règles d’or à retenir :

  • Le TMS diminue généralement quand on consomme davantage du bien X (loi de la décroissance marginale).
  • Comparer le TMS au rapport des prix (Px/Py) permet de déterminer le bien acheté à l’optimum.

3. La droite de budget

La droite de budget représente toutes les combinaisons (x, y) que le consommateur peut se permettre avec son revenu B et les prix Px et Py :

B = Px·x + Py·y

Sa pente est négative et vaut -Px/Py. Ainsi, avec Px=1 € et Py=2 €, la pente est -0,5.

Lorsque le prix d’un bien change, la droite de budget se déplace :

  • Si Px augmente (revenu et Py constants), la droite pivote vers la gauche autour de l’axe Y.
  • Si le revenu augmente, la droite se décale parallèlement vers l’extérieur.

4. Condition d’optimalité du consommateur

L’optimum se situe au point où la courbe d’indifférence est tangente à la droite de budget, c’est‑à‑dire où :

TMSx→y = Px/Py

Dans le cas d’une fonction Cobb‑Douglas symétrique U=x^{1/2} y^{1/2}, le consommateur dépense toujours la moitié de son budget sur chaque bien. Avec B=80 €, Px=4 €, Py=2 €, on obtient :

  • Dépense sur X = 40 € → x* = 40/4 = 10
  • Dépense sur Y = 40 € → y* = 40/2 = 20

Le point optimal est donc (10;20).

5. Cas particulier : biens substituables parfaits

Lorsque la fonction d’utilité est linéaire, par exemple U(x,y)=4x+2y, le TMS est constant (ici 2). L’optimum se trouve en comparant ce TMS au rapport des prix :

  • Si Px/Py < TMS, le consommateur achète uniquement X.
  • Si Px/Py > TMS, il achète uniquement Y.

Cette règle montre que, pour des biens parfaitement substituables, le consommateur ne consomme jamais les deux biens simultanément à l’optimum.

6. Exercices d’application

6.1 Calcul du nombre maximal de biens X

Avec un budget B=80 € et un prix Px=4 €, le nombre maximal de X achetables (sans Y) est :

80 / 4 = 20. Cette règle générale budget ÷ prix = quantité maximale s’applique à tout bien isolé.

6.2 Analyse d’un déplacement de la droite de budget

Si le prix de X augmente, la pente devient plus raide et la droite pivote vers la gauche autour de l’axe Y. Le consommateur pourra acheter moins de X pour chaque niveau de Y, ce qui modifie le choix optimal.

7. Synthèse des points clés

  • Utilité marginale : dérivée partielle de la fonction d’utilité ; comparez MUX et MUY pour connaître la préférence instantanée.
  • TMS : ratio des utilités marginales ; comparez‑le au rapport des prix pour déterminer le bien à consommer.
  • Droite de budget : B = Pxx + Pyy ; pente = -Px/Py. Un changement de prix entraîne un pivot, un changement de revenu un déplacement parallèle.
  • Condition d’optimalité : TMS = Px/Py. Dans le cas Cobb‑Douglas symétrique, chaque bien reçoit la moitié du budget.
  • Biens substituables parfaits : TMS constant ; l’optimum dépend uniquement du rapport prix/TMS.

Maîtriser ces concepts permet d’analyser les décisions de consommation, d’interpréter les courbes d’indifférence et de prévoir l’impact des variations de prix ou de revenu sur le comportement du consommateur.