Matrices et systèmes linéaires

Introduction aux matrices et aux systèmes linéaires

Les matrices sont des outils fondamentaux en algèbre linéaire, permettant de représenter et de résoudre des systèmes d'équations linéaires, d'effectuer des transformations géométriques et d'analyser des modèles économiques. Dans ce cours, nous allons explorer les concepts clés liés aux matrices carrées, au produit matriciel, à l'égalité de matrices, au calcul de déterminants et à l'application de ces notions dans un exemple concret de parts de marché.

1. Inversibilité d'une matrice carrée

Condition d'existence d'une solution unique

Pour un système linéaire de la forme Ax = b, où A est une matrice carrée n × n, la question centrale est de savoir quand ce système possède une solution unique. La réponse repose sur le déterminant de la matrice A :

• Si det(A) ≠ 0, la matrice est dite inversible et le système admet exactement une solution, donnée par x = A^{-1}b.
• Si det(A) = 0, la matrice est singulière : le système peut ne pas avoir de solution ou en avoir une infinité, selon le vecteur b.

Cette condition est cruciale dans de nombreux domaines, notamment en ingénierie où la stabilité d'un système dépend de l'inversibilité de la matrice qui le décrit.

2. Le produit matriciel

Condition de définition du produit C = AB

Le produit de deux matrices A et B n'est pas toujours possible. La règle fondamentale est la suivante :

• Le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B.

Lorsque cette condition est remplie, le produit C = AB est une matrice dont le nombre de lignes provient de A et le nombre de colonnes provient de B. Cette contrainte assure que chaque élément de C peut être calculé comme la somme des produits des éléments correspondants des lignes de A et des colonnes de B.

Exemple : si A est de dimension 2 × 3 et B de dimension 3 × 4, alors AB est bien définie et donne une matrice 2 × 4.

3. Égalité de matrices

Critère d'égalité

Deux matrices A et B de même dimension sont considérées comme égales si et seulement si :

• Tous leurs éléments correspondants sont égaux, c’est‑à‑dire a_{ij} = b_{ij} pour chaque ligne i et chaque colonne j.

Les autres propriétés (déterminant, rang, trace) peuvent être identiques sans que les matrices le soient. Ainsi, l'égalité repose strictement sur la correspondance élément par élément.

4. Calcul du déterminant d'une matrice 2×2

Formule et exemple

Le déterminant d'une matrice 2 × 2 \[\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\] se calcule avec la formule classique :

det = ad - bc

Appliquons‑la à la matrice \[\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\].

• a = 4, d = 3 → ad = 12
• b = 2, c = 1 → bc = 2

Donc det = 12 - 2 = 10. Le déterminant non nul confirme que la matrice est inversible, ce qui implique l’existence d’une solution unique pour tout système Ax = b où A est cette matrice.

5. Application économique : transition des parts de marché

Contexte et calcul de la part de marché de la firme B

Considérons un modèle simple où les parts de marché de deux firmes, A et B, évoluent d’une année à l’autre selon une matrice de transition. Supposons que la matrice de transition soit donnée et que la part initiale de la firme B soit connue. Après la première année, la nouvelle part de marché de B se calcule en multipliant la matrice de transition par le vecteur des parts initiales.

Dans l’exemple fourni, le résultat attendu est 0,35. Ce chiffre illustre comment les matrices permettent de modéliser des dynamiques économiques, telles que la concurrence ou la diffusion de technologies.

6. Synthèse des concepts clés

• Inversibilité : det(A) ≠ 0 garantit une solution unique pour Ax = b.
• Produit matriciel : La condition colonnes(A) = lignes(B) est indispensable.
• Égalité de matrices : Nécessite l’égalité de chaque élément correspondant.
• Déterminant 2×2 : Calculé par ad - bc, il indique l’inversibilité.
• Application économique : Les matrices de transition modélisent l’évolution des parts de marché.

7. Exercices d’entraînement

Exercice 1 – Vérification d’inversibilité

Soit la matrice \[M = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\]. Calculez son déterminant et décidez si le système Mx = b possède une solution unique pour tout b.

Exercice 2 – Produit matriciel

Déterminez si le produit AB est défini pour les matrices suivantes :

• A : 3 × 2
• B : 2 × 5

Si oui, indiquez la dimension du produit.

Exercice 3 – Égalité de matrices

Comparez les matrices suivantes et indiquez si elles sont égales :

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\]

Exercice 4 – Application de transition

Une firme C possède une part de marché initiale de 0,30. La matrice de transition est \[T = \begin{pmatrix} 0.6 & 0.2 \\ 0.4 & 0.8 \end{pmatrix}\]. Calculez la part de marché de C après une année.

8. Conclusion

La maîtrise des propriétés des matrices – inversibilité, produit, égalité et déterminant – constitue le socle de l’algèbre linéaire appliquée aux sciences, à l’ingénierie et à l’économie. En pratiquant les exercices proposés, vous consoliderez votre compréhension et serez capable d’appliquer ces notions à des problèmes réels, comme la modélisation de parts de marché ou la résolution de systèmes d’équations complexes.