Logique et preuves en mathématiques

Introduction à la logique mathématique

La logique constitue le socle de toutes les démonstrations en mathématiques. Elle permet de formuler, analyser et transformer des énoncés de façon rigoureuse. Dans ce cours, nous explorerons les notions essentielles telles que le contraire logique, les implications, le contraposé, les lois de De Morgan, la négation des quantificateurs, les tableaux de vérité et les principes d’inférence comme le modus ponens.

1. Le contraire logique d’une inégalité

Exemple typique

Considérons l’énoncé « x < 4 ». Son contraire logique consiste à nier l’ensemble des valeurs qui satisfont l’inégalité initiale. En logique, la négation de « < » est « ≥ ». Ainsi, le contraire logique devient x ≥ 4.

À retenir : ≥ remplace < pour tout x.

2. Implication et condition suffisante

Définition de l’implication

Une implication s’écrit p ⇒ q et se lit « si p alors q ». Elle affirme que chaque fois que p est vrai, q l’est également. Dans ce cadre, p est appelé condition suffisante pour q.

À retenir : suffisante = partant, pas besoin d’inverse.

3. Le contraposé d’une implication

Construction du contraposé

Le contraposé d’une implication p ⇒ q s’obtient en niant la conclusion puis la prémisse, puis en inversant les deux. Formellement, le contraposé est ¬q ⇒ ¬p.

Exemple : « si n est pair alors n² est pair ». Le contraposé devient « si n² est impair alors n est impair ».

À retenir : Implication → ¬conclusion ⇒ ¬prémisse.

4. Les lois de De Morgan

Équivalence fondamentale

Les lois de De Morgan permettent de distribuer la négation à travers les connecteurs logiques. Elles s’expriment ainsi :

• ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
• ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

Ces équivalences sont essentielles pour simplifier des expressions complexes et pour passer du langage naturel aux formes symboliques.

À retenir : ¬(A∧B)=¬A∨¬B, inverse de De Morgan.

5. Négation des quantificateurs

Règles de base

Pour néguer une quantification, on échange le quantificateur et on nie le prédicat :

• ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)
• ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)

Exemple concret : la négation de « ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0 » devient « ∃x ∈ ℝ tel que x² < 0 ». Aucun réel ne satisfait x² < 0, ce qui montre que la proposition initiale est vraie.

Souviens‑toi : strictement négatif, pas égal.

6. Tableau de vérité de p ∧ ¬q

Construction du tableau

Le tableau de vérité récapitule les valeurs de vérité d’une expression selon les combinaisons possibles des variables. Pour p ∧ ¬q :

• p = V, q = V → ¬q = F → V ∧ F = F
• p = V, q = F → ¬q = V → V ∧ V = V
• p = F, q = V → ¬q = F → F ∧ F = F
• p = F, q = F → ¬q = V → F ∧ V = F

Le seul cas où l’expression est vraie est (p = V, q = F). D’où le tableau T F, F F, T T, F T (en suivant l’ordre (p,q) = (V,V), (V,F), (F,V), (F,F)).

À retenir : Vrai + non‑vrai = vrai uniquement.

7. Quantificateurs et existence d’un plus grand nombre

Analyse de l’énoncé

L’énoncé « ∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ, y > x » affirme que pour chaque réel x, on peut trouver un réel y strictement plus grand. Cette affirmation est vraie : choisir y = x + 1 satisfait toujours la condition.

À retenir : Un nombre toujours plus grand : x+1.

8. Le principe du modus ponens

Raisonnement valide

Le modus ponens est le mécanisme d’inférence suivant :

• Premisse 1 : p ⇒ q
• Premisse 2 : p
• Conclusion : q

Il permet de déduire la conclusion q dès que l’implication et la prémisse sont établies. C’est l’un des outils les plus utilisés dans les démonstrations formelles.

À retenir : p et p⇒q → q.

Conclusion

Ce cours a couvert les notions fondamentales de la logique mathématique nécessaires à la compréhension et à la construction de preuves rigoureuses. Maîtriser le contraire logique, le contraposé, les lois de De Morgan, la négation des quantificateurs, les tableaux de vérité et les principes d’inférence comme le modus ponens vous permettra d’aborder des démonstrations plus avancées avec confiance.

Pour renforcer votre apprentissage, pratiquez régulièrement en reformulant des énoncés, en construisant des tableaux de vérité et en identifiant le type de condition (suffisante ou nécessaire) dans chaque implication rencontrée.