1
← Retour aux quizQuiz gratuit
Inégalités et représentation sur la droite réelle
Les inégalités sont au cœur des mathématiques du lycée. Elles permettent de comparer des nombres, de déterminer des intervalles de solutions et de visualiser ces solutions sur une droite…
0 / 10
Score: 0%
2
Quelle est la représentation graphique correcte de $x>2$ sur une droite graduée ?
3
Résoudre $-5x+2<32$ et indiquer l'intervalle correspondant.
4
Quelle(s) valeur(s) satisfait(s) $|x|=2$ ?
5
Quelle est l'intervalle solution de $|x|\le 2$ ?
6
Résoudre $|x-7|\le 2$ et donner l'intervalle correspondant.
7
Quel est le sens de la distance entre deux nombres $a$ et $b$ ?
8
Sur la droite graduée, quel intervalle correspond à $[5-3;5+3]$ ?
9
L'inégalité $|x-5|\le 3$ décrit quelle condition géométrique sur la droite réelle ?
10
En observant l'image cette image, quel intervalle représente la condition $|x-12|\le 4$ ?
Comprendre les inégalités et leur représentation sur la droite réelle
Les inégalités sont au cœur des mathématiques du lycée. Elles permettent de comparer des nombres, de déterminer des intervalles de solutions et de visualiser ces solutions sur une droite graduée. Ce cours détaillé vous guide à travers les concepts clés, les techniques de résolution et les bonnes pratiques de représentation graphique, tout en intégrant les notions d’valeur absolue et de distance entre deux nombres.
1. Résolution d’une inéquation linéaire simple
Considérons l’inéquation $x+8\le 10$. Pour isoler x, on soustrait 8 des deux côtés :
- $x+8-8 \le 10-8$
- $x \le 2$
La solution s’exprime sous forme d’intervalle : $\left]-\infty ; 2\right]$. Cela signifie que tous les nombres inférieurs ou égaux à 2 satisfont l’inéquation.
2. Représentation graphique d’une inéquation sur la droite réelle
Lorsque l’inéquation est $x>2$, la valeur 2 n’est pas incluse. La convention graphique utilise :
- Un crochet ouvert (ou cercle vide) placé en 2 pour indiquer l’exclusion de ce point.
- Une flèche pointant vers la droite pour représenter tous les nombres supérieurs à 2.
Cette représentation se distingue du crochet fermé, qui serait utilisé pour $x\ge 2$.
3. Résolution d’une inéquation avec coefficient négatif
L’inéquation $-5x+2 nécessite quelques manipulations :
- Ajouter 5x aux deux membres : $2 < 32 + 5x$.
- Soustraire 32 : $-30 < 5x$.
- Diviser par le coefficient positif 5 (le sens de l’inéquation ne change pas) : $-6 < x$, soit $x>-6$.
L’intervalle solution est $\left]-6 ; +\infty\right[$, noté aussi ] -6 ; +\infty [.
4. Valeur absolue et équations associées
La valeur absolue $|x|$ représente la distance de x à l’origine sur la droite réelle. L’équation $|x|=2$ se traduit par deux possibilités :
- $x=2$
- $x=-2$
Donc les solutions sont $x= -2$ ou $x= 2$. Aucun autre nombre ne satisfait l’égalité.
5. Inégalités avec valeur absolue
Lorsque l’inégalité porte sur la valeur absolue, on obtient un intervalle centré autour de zéro. Par exemple, $|x|\le 2$ signifie que la distance de x à l’origine est au plus 2. Les solutions forment l’intervalle $[-2 ; 2]$.
Si l’inégalité était stricte ($|x|), l’intervalle serait $(-2 ; 2)$, excluant les bornes.
6. Translation de l’intervalle avec une valeur absolue décalée
L’inégalité $|x-7|\le 2$ se lit comme : « la distance entre x et 7 est au plus 2 ». On traduit cela en deux inégalités simultanées :
- $-2 \le x-7 \le 2$
- En ajoutant 7 partout : $5 \le x \le 9$
L’intervalle solution est donc $[5 ; 9]$. Sur la droite graduée, on trace un segment fermé de 5 à 9, avec des crochets fermés aux deux extrémités.
7. Distance entre deux nombres
La distance entre deux réels a et b se définit par la valeur absolue de leur différence : $|b-a|$. Cette formule garantit toujours un résultat positif ou nul, quelle que soit l’ordre des nombres.
Par exemple, la distance entre -3 et 4 est $|4-(-3)| = |7| = 7$.
8. Interprétation d’un intervalle centré sur un point
Sur une droite graduée, l’intervalle $[5-3 ; 5+3]$ se calcule en effectuant les opérations :
- $5-3 = 2$
- $5+3 = 8$
Le résultat est l’intervalle $[2 ; 8]$. Visuellement, on trace un segment fermé allant de 2 à 8, avec des crochets fermés aux deux extrémités.
9. Bonnes pratiques pour la rédaction d’un cours SEO‑friendly
Pour que votre contenu soit bien référencé, respectez les points suivants :
- Utilisez des balises sémantiques (h2, h3, p, ul, li) afin que les moteurs de recherche comprennent la structure du texte.
- Intégrez des mots‑clés pertinents comme « inéquation », « valeur absolue », « intervalle », « droite réelle » et « représentation graphique ».
- Rédigez des phrases courtes et claires pour améliorer la lisibilité et le taux de rétention des apprenants.
- Ajoutez des exemples concrets (comme ceux présentés ci‑dessus) pour renforcer la compréhension et augmenter le temps de lecture.
- Utilisez le gras () et l’italique () judicieusement pour mettre en avant les notions essentielles et les définitions.
En suivant ces recommandations, votre cours sera à la fois pédagogique et optimisé pour le référencement naturel.
10. Résumé des concepts clés
- Une inéquation linéaire se résout en isolant la variable, en respectant le sens de l’inéquation lors de la division par un nombre négatif.
- La représentation graphique utilise des crochets ouverts ou fermés selon que la borne est exclue ou incluse, et des flèches pour indiquer la direction de l’ensemble de solutions.
- La valeur absolue $|x|$ mesure la distance à l’origine ; $|x|\le a$ donne l’intervalle $[-a ; a]$.
- Pour $|x-c|\le a$, on obtient l’intervalle $[c-a ; c+a]$, centré sur $c$.
- La distance entre deux nombres $a$ et $b$ est $|b-a|$, toujours positive.
Maîtriser ces notions vous permettra de résoudre rapidement des problèmes d’inégalités, de tracer correctement les intervalles sur une droite réelle et d’aborder des exercices plus complexes en algèbre et en analyse.
