Conversions bases décimale, binaire et hexadécimale

Introduction aux conversions de bases numériques

Dans le domaine de l'informatique, la capacité à convertir rapidement entre les bases décimale, binaire et hexadécimale est essentielle. Ces conversions sont utilisées pour le débogage, la programmation bas‑niveau et la compréhension du fonctionnement des processeurs. Ce cours structuré vous guidera à travers les concepts fondamentaux, les algorithmes classiques et les astuces pratiques pour maîtriser les conversions entre les trois bases les plus courantes.

1. Conversion décimale → binaire

1.1. Méthode de division successive par 2

La technique la plus répandue consiste à diviser le nombre décimal par 2 et à retenir les restes (r). Les restes, lus de bas en haut, forment la représentation binaire.

• Étape 1 : Diviser le nombre par 2.
• Étape 2 : Noter le reste (0 ou 1).
• Étape 3 : Reprendre le quotient et répéter l’opération jusqu’à obtenir un quotient nul.
• Étape 4 : Lire les restes à l’envers pour obtenir le nombre binaire.

Exemple : conversion de 13 en binaire sur 4 bits.

Calcul : 13 ÷ 2 = 6 reste 1; 6 ÷ 2 = 3 reste 0; 3 ÷ 2 = 1 reste 1; 1 ÷ 2 = 0 reste 1. En lisant les restes de bas en haut, on obtient 1101. Sur 4 bits, la notation officielle est b1101.

À retenir : 13 = 8 + 4 + 1 → 1101₂.

1.2. Premier reste pour un nombre pair

Lorsque le nombre décimal est pair, le premier reste de la division par 2 est toujours 0. Cela constitue une règle de rapidité très pratique.

Exemple : pour 18, 18 ÷ 2 = 9 reste 0. Ainsi, le premier reste est 0.

À retenir : premier reste = 0 si le nombre est pair.

2. Conversion binaire → décimal

2.1. Méthode de pondération des bits

Pour reconvertir un nombre binaire en décimal, on additionne chaque bit multiplié par la puissance de 2 correspondante.

• Le bit le plus à droite représente 2⁰.
• Le suivant représente 2¹, puis 2², etc.

Exemple : 1011₂ → 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11.

À retenir : bits × puissances de 2, somme = décimal.

2.2. Conversion d’un mot de 32 bits rempli de 1

Un nombre binaire composé uniquement de 1 sur n bits représente la valeur maximale non signée : 2ⁿ − 1.

Exemple : 11111111 11111111 11111111 11111111₂ (32 bits) = 2³² − 1 = 4294967295.

À retenir : 1…1 = 2ⁿ‑1 toujours.

3. Conversion décimale → hexadécimale

3.1. Division successive par 16

L’algorithme est analogue à la conversion décimale → binaire, mais on divise par 16. Le reste, compris entre 0 et 15, se traduit par un chiffre hexadécimal (0‑9, A‑F).

• Étape 1 : Diviser le nombre décimal par 16.
• Étape 2 : Noter le reste et le convertir en chiffre hexadécimal.
• Étape 3 : Reprendre le quotient et répéter jusqu’à obtenir 0.
• Étape 4 : Lire les restes à l’envers, précédés de 0x.

Exemple : conversion de 10 en hexadécimal sur un octet.

10 ÷ 16 = 0 quotient, reste 10 → chiffre A. L’octet vaut donc 0x0A.

À retenir : reste = valeur hexadécimale quand le quotient < 1.

3.2. Cas particulier : 255 décimal

255 ÷ 16 = 15 quotient, reste 15. En hexadécimal, 15 se note F. Ainsi, 255 décimal = 0xFF.

À retenir : FF = 255.

4. Conversion hexadécimale → décimal

4.1. Décomposition positionnelle

Chaque chiffre hexadécimal représente une puissance de 16 :

• Le chiffre le plus à droite vaut 16⁰.
• Le suivant vaut 16¹, etc.

Exemple : 0x1C → 1·16¹ + 12·16⁰ = 16 + 12 = 28.

À retenir : 1C → 1·16 + C(12) = 28.

4.2. Conversion d’un nombre hexadécimal en binaire

Chaque chiffre hexadécimal correspond à exactement 4 bits. Pour obtenir la représentation binaire sur 8 bits d’un nombre hexadécimal, on convertit chaque chiffre séparément puis on complète avec des zéros si nécessaire.

Exemple : 0x3A → 3 = 0011, A = 1010. En concaténant, on obtient 00111010 (8 bits).

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6. Résumé des conversions essentielles

• 13 décimal → binaire (4 bits) : b1101
• 10 décimal → hexadécimal (octet) : 0x0A
• 1011₂ → décimal : 11
• 32 bits à 1 → décimal : 4294967295
• 255 décimal → hexadécimal : 0xFF
• 0x3A → binaire (8 bits) : 00111010
• Premier reste pour 18 : 0
• 0x1C → décimal : 28

En maîtrisant ces algorithmes et en appliquant les astuces présentées, vous serez capable de résoudre rapidement tout problème de conversion de bases, que ce soit en cours, lors d’un examen ou dans un contexte professionnel. N’hésitez pas à pratiquer avec des exercices supplémentaires et à consulter les ressources complémentaires pour approfondir votre compréhension.