Codage des nombres et des objets numériques

Introduction au codage des nombres et des objets numériques

Dans le domaine de l'informatique, la représentation des données numériques est fondamentale. Que ce soit pour stocker un simple entier, manipuler des images ou transmettre des informations sur un réseau, il faut maîtriser les différents systèmes de numération, les préfixes du Système International (SI) et les formats de codage comme le complément à deux ou la virgule flottante. Ce cours reprend les notions essentielles testées dans le quiz « Codage des nombres et des objets numériques », en les développant de façon pédagogique et optimisée pour le référencement (SEO).

Conversion hexadécimale → décimale

Exemple : 5A₁₆

Le système hexadécimal (base 16) utilise les chiffres de 0 à 9 puis les lettres A‑F pour représenter les valeurs 10‑15. Pour convertir un nombre hexadécimal en décimal, on multiplie chaque chiffre par la puissance correspondante de 16.

• 5A₁₆ = 5 × 16¹ + 10 × 16⁰
• 5 × 16 = 80
• 10 × 1 = 10
• 80 + 10 = 90

À retenir : Hexa → 16 × chiffre de poids + unité. Cette règle s’applique à tout nombre hexadécimal, quel que soit le nombre de chiffres.

Conversion décimale → binaire (base 2)

Exemple : 90₁₀

Le système binaire utilise uniquement les bits 0 et 1. La méthode la plus courante consiste à décomposer le nombre en puissances de 2.

• 90 = 64 + 16 + 8 + 2 = 2⁶ + 2⁴ + 2³ + 2¹
• On place un 1 aux positions correspondantes (6, 4, 3, 1) et 0 ailleurs.
• Résultat : 1011010₂

À retenir : 90 = 2⁶+2⁴+2³+2¹ → 1011010.

Les préfixes SI pour les octets

Quel préfixe représente 10⁹ octets ?

Le Système International (SI) définit des préfixes décimaux basés sur des puissances de 10. Le préfixe giga‑ correspond à 10⁹, soit un milliard d’octets, d’où le terme gigaoctet (Go).

• kilo‑ = 10³
• méga‑ = 10⁶
• giga‑ = 10⁹
• téra‑ = 10¹²

Il ne faut pas confondre giga‑ (10⁹) avec gibi‑ (2³⁰), utilisé surtout en informatique pour les puissances de deux.

À retenir : giga = 10⁹, méga = 10⁶.

Codage en complément à deux

Représenter -33 sur 8 bits

Le complément à deux est la méthode la plus répandue pour coder les nombres entiers signés. La procédure se déroule en trois étapes :

1. Écrire la valeur absolue en binaire sur le nombre de bits souhaité (33 → 00100001).
2. Inverser chaque bit (00100001 → 11011110).
3. Ajouter 1 au résultat (11011110 + 1 = 11011111).

Le code 11011111 représente donc -33 en 8 bits.

À retenir : Inverser + 1 = négatif.

Virgule flottante vs virgule fixe

Avantage principal du format flottant

Le codage à virgule flottante (ex. IEEE‑754) utilise un exposant et une mantisse. Cette représentation permet de conserver une erreur relative quasi constante, même pour des valeurs très grandes, contrairement à la virgule fixe où la précision absolue diminue avec l’amplitude.

• Flottante : précision relative stable, idéal pour les calculs scientifiques.
• Fixe : précision absolue fixe, plus simple à implémenter en matériel mais limité aux plages de valeurs restreintes.

À retenir : Flottante = précision relative constante, fixe = précision absolue.

Débits réseau : bits vs octets

Interpréter 100 Mbps

Le suffixe « bps» indique des bits par seconde. Ainsi, 100 Mbps signifie 100 méga‑bits par seconde. La confusion fréquente entre « b » (bits) et « B » (octets) peut entraîner des erreurs de calcul de bande passante.

Conversion rapide :

• 1 Byte = 8 bits
• 100 Mbps ÷ 8 ≈ 12,5 Mo/s (méga‑octets par seconde)

À retenir : b = bits, B = octets.

Représentation binaire des fractions

La fraction 0,25 en base 2

En base 2, chaque chiffre après la virgule représente une puissance négative de 2 (2⁻¹, 2⁻², …). La valeur 0,25 correspond à 2⁻², donc la représentation binaire est 0,01₂.

• 0,01₂ = 0×2⁻¹ + 1×2⁻² = 0 + 0,25 = 0,25

À retenir : 0,25 = 2⁻² → 0,01₂.

Couleurs primaires des sous‑pixels d’un écran

Modèle RGB

Les écrans LCD et OLED utilisent des sous‑pixels disposés en trois cellules colorées : rouge, vert et bleu (RGB). En combinant ces trois couleurs à différentes intensités, on reproduit l’ensemble du spectre visible.

• R – Red (rouge)
• G – Green (vert)
• B – Blue (bleu)

À retenir : RGB = les seules couleurs visibles des sous‑pixels.

Résumé des concepts clés

• Conversion hexadécimale → décimale : multiplier chaque chiffre par 16ⁿ.
• Conversion décimale → binaire : décomposer en puissances de 2.
• Préfixes SI : kilo‑ (10³), méga‑ (10⁶), giga‑ (10⁹).
• Complément à deux : inverser les bits + ajouter 1.
• Virgule flottante : précision relative constante grâce à l’exposant.
• Débit réseau : « b » = bits, « B » = octets.
• Fraction binaire : chaque chiffre après la virgule vaut 2⁻ⁿ.
• Couleurs des sous‑pixels : rouge, vert, bleu (RGB).

Maîtriser ces notions vous permettra de comprendre comment les ordinateurs traitent, stockent et transmettent les données numériques, un socle indispensable pour tout développeur ou ingénieur en informatique.