Calculs de longueurs dans un triangle rectangle

1. L’hypoténuse : définition et propriétés

Dans tout triangle rectangle, le côté qui ne touche pas l’angle droit est appelé hypoténuse. Ce côté est toujours le plus long du triangle.

• Opposé à l’angle droit : il se trouve en face du sommet où l’angle mesure 90°.
• Jamais adjacent : les deux autres côtés, appelés « côtés adjacents », forment l’angle droit.

À retenir : hypoténuse = côté opposé à l’angle droit = le plus grand côté.

2. Le théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore relie les longueurs des trois côtés d’un triangle rectangle :

c² = a² + b², où c désigne l’hypoténuse et a et b les deux côtés adjacents.

Cette relation permet de :

• Calculer l’hypoténuse lorsqu’on connaît les deux autres côtés.
• Déterminer un côté manquant à partir de l’hypoténuse et de l’autre côté.

Exemple pratique :

• Si les côtés adjacents mesurent 9 cm et 12 cm, alors c = √(9² + 12²) = √225 = 15 cm. Ce triplet (9‑12‑15) est un exemple classique de triplet pythagoricien.
• Si l’hypoténuse mesure 13 cm et un côté adjacent 5 cm, le troisième côté vaut √(13² – 5²) = √144 = 10 cm.

À retenir : Soustraire le carré du côté connu de celui de l’hypoténuse, puis extraire la racine carrée.

3. Le carré d’un nombre

Élever un nombre au carré signifie le multiplier par lui‑même. La notation x² représente x × x.

• Exemple : 5² = 5 × 5 = 25.
• Le résultat d’un carré est toujours positif ou nul.

À retenir : carré = nombre × même nombre.

4. La racine carrée

La racine carrée inverse l’opération du carré. Pour x² = N, on obtient x = √N. La racine carrée d’un nombre positif possède deux solutions (positive et négative), mais en géométrie on ne considère que la valeur positive.

• Exemple : √676 = 26 car 26 × 26 = 676.
• Exemple : √144 = 12 car 12 × 12 = 144.

À retenir : racine carrée = opération qui « défait » le carré.

5. Notation des angles droits

Dans une phrase du type « MAT est rectangle en M », la lettre M indique le sommet où se trouve l’angle droit. Cette convention est courante en géométrie pour préciser le point d’intersection des deux côtés perpendiculaires.

À retenir : Le symbole placé après le mot « rectangle » désigne le sommet de l’angle droit.

6. Exercices d’application

Les questions suivantes permettent de vérifier la compréhension des concepts présentés.

1. Quel côté est appelé hypoténuse ?

   • Le côté opposé à l’angle droit (réponse correcte).

2. Si l'hypoténuse mesure 13 cm et un côté adjacent 5 cm, quelle est la longueur du troisième côté ?

   • 10 cm (réponse correcte).

3. Quelle est la valeur de 5² ?

   • 25 (réponse correcte).

4. Dans l'expression « x² = 676 », quelle opération doit être effectuée pour trouver x ?

   • Prendre la racine carrée de 676 (réponse correcte).

5. Quel est le plus grand côté d'un triangle rectangle ?

   • L'hypoténuse (réponse correcte).

6. Si un triangle rectangle a des côtés de 9 cm et 12 cm, quelle est la longueur de son hypoténuse ?

   • 15 cm (réponse correcte).

7. Quel symbole représente l'angle droit dans « MAT est rectangle en M » ?

   • M (réponse correcte).

8. Quel est le résultat de √(144) ?

   • 12 (réponse correcte).

En révisant ces exercices, vous consolidez votre maîtrise du calcul de longueurs dans les triangles rectangles.

7. Résumé des points clés

• L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et le plus long.
• Théorème de Pythagore : c² = a² + b².
• Le carré d’un nombre se calcule en le multipliant par lui‑même.
• La racine carrée annule le carré : x = √(x²).
• Dans la notation « rectangle en M », la lettre M désigne le sommet de l’angle droit.

Ces notions constituent la base indispensable pour résoudre tout problème de géométrie impliquant des triangles rectangles.