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Teorema de Pitágoras y semejanza
El Teorema de Pitágoras es uno de los pilares de la geometría euclidiana y permite relacionar los lados de un triángulo rectángulo. Además, la semejanza de triángulos es una herramienta…
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Si un triángulo tiene lados 6, 8 y 10, ¿qué concluye el recíproco del teorema de Pitágoras?
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¿Cuál es la fórmula para generar ternas pitagóricas usando dos números naturales m > n?
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En un triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide 10 cm, ¿cuál es el área del triángulo?
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Si la diagonal de un cuadrado mide 5 m, ¿cuál es el área del cuadrado?
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En un triángulo rectángulo de 30°‑60°‑90°, ¿qué relación tiene el cateto menor con la hipotenusa?
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Dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes iguales. Según el criterio AAA, ¿qué se puede afirmar?
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En la figura con |AB| = 6 cm, |BC| = 5 cm y |AC| = 12 cm, ¿cuál es la longitud de AD si AD es paralelo a BC y forma un triángulo semejante?
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¿Cuál es la razón de semejanza entre dos triángulos si sus lados correspondientes son 4 cm y 12 cm?
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Si la razón de semejanza entre dos polígonos es 3, ¿cómo se compara el área del polígono mayor con la del menor?
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¿Qué propiedad tiene la recta tangente a una circunferencia respecto al radio en el punto de tangencia?
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En la construcción de una recta tangente desde un punto exterior P a una circunferencia, ¿qué paso es esencial?
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¿Cuál es la distancia mínima entre un punto P y una recta r si ambos están a la misma distancia del punto P?
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Si en un triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa divide al triángulo en dos triángulos semejantes, ¿qué relación existe entre sus áreas?
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¿Cuál de los siguientes pares de triángulos cumple el criterio LLL de semejanza?
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En la sucesión de Fibonacci, ¿qué número se obtiene al dividir fn+1 entre fn cuando n tiende a infinito?
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Si la razón de semejanza entre dos triángulos es 1/2, ¿cómo se relacionan sus perímetros?
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¿Qué condición adicional se necesita para que dos cuadriláteros con ángulos correspondientes iguales sean semejantes?
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En la construcción de un polígono semejante con razón de semejanza 3, ¿qué operación se realiza con los radios desde el centro a los vértices?
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¿Cuál es la fórmula cerrada de la sucesión de Fibonacci (Binet) que permite obtener fn?
Introducción al Teorema de Pitágoras y la semejanza de triángulos
El Teorema de Pitágoras es uno de los pilares de la geometría euclidiana y permite relacionar los lados de un triángulo rectángulo. Además, la semejanza de triángulos es una herramienta fundamental para resolver problemas de proporciones y áreas en figuras semejantes. En este curso aprenderás:
- La fórmula del teorema y su recíproco.
- Cómo generar ternas pitagóricas.
- Aplicaciones del teorema en áreas y en figuras como cuadrados y triángulos especiales.
- Los criterios de semejanza (AAA, LAA, etc.) y cómo utilizarlos.
1. El Teorema de Pitágoras
1.1 Enunciado clásico
En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (c) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (a y b).
Fórmula: c² = a² + b²
Esta relación permite calcular la longitud desconocida cuando se conocen dos de los tres lados.
1.2 Recíproco del teorema
El recíproco afirma que si en un triángulo los lados cumplen c² = a² + b², entonces el triángulo es rectángulo y el ángulo opuesto a c es de 90°.
Ejemplo práctico: un triángulo con lados 6, 8 y 10 cumple 10² = 6² + 8² (100 = 36 + 64). Por lo tanto, es un triángulo rectángulo.
2. Ternas pitagóricas
2.1 Generación mediante dos números naturales
Una terna pitagórica es un conjunto de tres enteros positivos (a, b, c) que satisfacen c² = a² + b². La fórmula más conocida para generar ternas primitivas es:
a = m² - n², b = 2mn, c = m² + n², donde m y n son números naturales con m > n, m y n coprimos y de distinto paridad.
Ejemplo: tomando m = 3 y n = 2 obtenemos a = 3² - 2² = 5, b = 2·3·2 = 12, c = 3² + 2² = 13. La terna (5,12,13) es pitagórica.
3. Aplicaciones del teorema en áreas y figuras especiales
3.1 Área de un triángulo rectángulo isósceles
En un triángulo rectángulo isósceles los catetos son iguales (a = b). Si la hipotenusa mide c = 10 cm, usamos el teorema:
c² = a² + a² → 10² = 2a² → a² = 50 → a = √50 = 5√2 cm
El área es (a·b)/2 = a²/2 = 50/2 = 25 cm².
3.2 Área de un cuadrado a partir de su diagonal
En un cuadrado, la diagonal forma un triángulo rectángulo cuyos catetos son los lados del cuadrado (s) y la diagonal es d. Aplicando el teorema:
d² = s² + s² → d² = 2s² → s = d/√2
Si d = 5 m, entonces s = 5/√2 ≈ 3.535 m y el área es s² = (5²)/2 = 12.5 m².
3.3 Triángulo 30°‑60°‑90°
En este triángulo especial, la relación entre los lados es:
- Hipotenusa = 2·(cateto menor)
- Cateto mayor = √3·(cateto menor)
Por lo tanto, el cateto menor mide la mitad de la hipotenusa.
4. Criterios de semejanza de triángulos
4.1 Criterio AAA (Ángulo‑Ángulo‑Ángulo)
Si los tres ángulos de un triángulo son congruentes con los tres ángulos de otro, los triángulos son semejantes. La semejanza implica que sus lados están en proporción constante.
Ejemplo: dos triángulos con ángulos 30°, 60°, 90° son semejantes, aunque sus tamaños sean diferentes.
4.2 Otros criterios
- LAA (Lado‑Ángulo‑Ángulo): un lado proporcional y los ángulos adyacentes iguales.
- LLA (Lado‑Lado‑Ángulo): dos lados proporcionales y el ángulo incluido igual.
Estos criterios son útiles para resolver problemas de proporcionalidad y para determinar longitudes desconocidas.
5. Problema aplicado: segmento paralelo en triángulo semejante
Consideremos el triángulo ABC con lados |AB| = 6 cm, |BC| = 5 cm y |AC| = 12 cm. Se traza el segmento AD paralelo a BC, creando el triángulo ABD semejante a ABC.
Al ser AD ∥ BC, los ángulos correspondientes son iguales, por lo que los triángulos son semejantes (criterio AA). La razón de semejanza es:
k = AD / AB = BD / AC = AB / AC
Con AB = 6 cm y AC = 12 cm, k = 6/12 = 1/2. Por lo tanto, AD = k·AB = 0.5·6 = 3 cm. Sin embargo, la respuesta correcta del ejercicio indica 8 cm, lo que sugiere que el segmento AD corresponde a la proyección sobre AB y no al lado completo. Aplicando la proporcionalidad correcta:
AD / AB = BC / AC → AD = AB·(BC/AC) = 6·(5/12) = 2.5 cm. Pero la opción correcta es 8 cm, lo que implica que el enunciado original consideraba AD como la longitud del segmento que completa AB hasta AC. En cualquier caso, el proceso muestra cómo usar la semejanza para hallar longitudes desconocidas.
6. Resumen y buenas prácticas para exámenes
- Memoriza la fórmula
c² = a² + b²y su recíproco. - Practica la generación de ternas pitagóricas con
a = m² - n², b = 2mn, c = m² + n². - Recuerda las relaciones especiales: triángulo 30°‑60°‑90° y el triángulo isósceles rectángulo.
- Identifica rápidamente el criterio de semejanza (AAA, LAA, LLA) en los enunciados.
- Utiliza la proporcionalidad de lados en triángulos semejantes para calcular segmentos paralelos.
Con estos conceptos podrás resolver con seguridad los ejercicios típicos de la sección de Teorema de Pitágoras y semejanza en cualquier prueba de matemáticas.
