Ondas de materia y modelos atómicos
Este curso aborda los conceptos fundamentales de la física cuántica que aparecen en los exámenes de ondas de materia y modelos atómicos. Se explican la ecuación de De Broglie, el experimento de Davisson‑Germer, el modelo de Bohr, la ley de Wien, la constante de Stefan‑Boltzmann, el principio de incertidumbre de Heisenberg y la condición de población inversa necesaria para el funcionamiento de un láser.
Introducción a la dualidad onda‑partícula
Desde los inicios del siglo XX, la física ha demostrado que la materia no se comporta exclusivamente como partículas, sino que también exhibe propiedades ondulatorias. Esta dualidad onda‑partícula es la base de la mecánica cuántica y permite describir fenómenos como la difracción de electrones y la estabilidad de los átomos.
Ondas de materia y la ecuación de De Broglie
Louis de Broglie propuso que a cualquier partícula con momento lineal p le corresponde una longitud de onda λ dada por la famosa ecuación:
λ = h / p, donde h es la constante de Planck (6.626 × 10⁻³⁴ J·s).
Si la partícula es un electrón cuya masa es constante, el momento se escribe p = m·v. Por lo tanto, al duplicar la velocidad v, el momento se duplica y la longitud de onda se reduce a la mitad:
λ' = h / (2 m v) = λ / 2. Este resultado responde directamente a la segunda pregunta del cuestionario.
Ejemplo práctico
Un electrón acelerado por un potencial de 150 V adquiere una energía cinética de E = e·V (≈ 2.4 × 10⁻¹⁷ J). Su velocidad es v = √(2E/m), y sustituyendo en la ecuación de De Broglie se obtiene una longitud de onda del orden de 0.1 nm, comparable a la distancia interatómica.
Experimento de Davisson‑Germer
El experimento de Davisson‑Germer (1927) confirmó la naturaleza ondulatoria de los electrones. Un haz de electrones es acelerado mediante un voltaje V y dirigido a un cristal de níquel. La difracción observada en el detector muestra picos de intensidad que obedecen la condición de Bragg:
nλ = 2d sinθ, donde d es la distancia entre planos cristalinos y θ el ángulo de difracción.
En este contexto, el parámetro que determina la longitud de onda de De Broglie es el voltaje de aceleración aplicado al haz de electrones. Un mayor voltaje produce electrones más rápidos y, por tanto, una longitud de onda más corta, lo que se traduce en patrones de difracción más finos.
Interpretación de los resultados
Al medir θ y conocer d, se puede calcular λ y comparar con la predicción de De Broglie. La coincidencia experimental fue una de las pruebas decisivas que consolidaron la teoría cuántica.
Modelo atómico de Bohr
El modelo de Bohr (1913) describe al átomo de hidrógeno como un electrón que gira en órbitas circulares cuantizadas. La condición de cuantización del momento angular es:
m v r = n ħ, donde n es el número cuántico principal (n = 1, 2, 3, …) y ħ = h/2π.
De esta relación se deduce que el radio de la órbita varía con n²:
r_n = a_0 n², siendo a₀ = 0.529 Å el radio de Bohr.
Por lo tanto, si n se triplica, el radio se multiplica por n² = 9. Esta es la respuesta correcta a la tercera pregunta del cuestionario.
Energía de ionización del hidrógeno
La energía total de un electrón en la órbita n está dada por:
E_n = -13.6 eV / n². Cuando n = 1, la energía es -13.6 eV; la energía de ionización corresponde al valor absoluto, es decir, 13.6 eV. Esta cifra coincide con la respuesta de la cuarta pregunta.
Ley de Wien y radiación de cuerpo negro
La ley de desplazamiento de Wien relaciona la temperatura T de un cuerpo negro con la longitud de onda λ_max en la que la emisión es máxima:
λ_max T = b, donde b ≈ 2.898 × 10⁻³ m·K.
Para una superficie negra a 5800 K (aproximadamente la temperatura de la fotosfera solar), la longitud de onda máxima es:
λ_max = b / T ≈ 2.898 × 10⁻³ / 5800 ≈ 5.0 × 10⁻⁷ m ≈ 500 nm. Esta longitud corresponde a la luz visible verde‑amarilla, y es la respuesta correcta de la quinta pregunta.
Constante de Stefan‑Boltzmann
La ley de Stefan‑Boltzmann establece que la intensidad total de radiación emitida por un cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura:
I = σ T⁴, donde σ = 5.670 × 10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴ es la constante de Stefan‑Boltzmann. Esta constante aparece en la sexta pregunta del cuestionario.
Principio de incertidumbre de Heisenberg
El principio de incertidumbre establece que el producto de la incertidumbre en posición Δx y la incertidumbre en cantidad de movimiento Δp no puede ser menor que la mitad de la constante de Planck:
Δx · Δp ≥ ħ/2.
Si Δx = 5 × 10⁻¹¹ m, la mínima incertidumbre en el momento es:
Δp_min = ħ / (2 Δx) ≈ 1.055 × 10⁻³⁴ / (2 · 5 × 10⁻¹¹) ≈ 1.05 × 10⁻²⁴ kg·m·s⁻¹. Esta cifra coincide con la respuesta correcta de la séptima pregunta.
Láser y condición de población inversa
Un láser (amplificación de luz por emisión estimulada de radiación) requiere una inversión de población entre dos niveles energéticos. Esto significa que el número de átomos en el nivel excitado debe ser mayor que en el nivel fundamental, de modo que la emisión estimulada supere la absorción.
Sin inversión de población, el medio absorbería más luz de la que podría amplificar, impidiendo la generación de un haz láser coherente. Esta condición es la respuesta correcta a la octava pregunta.
Resumen y aplicaciones
Los conceptos revisados forman la columna vertebral de la física moderna:
- De Broglie permite calcular la longitud de onda asociada a cualquier partícula, esencial para la microscopia electrónica y la difracción de neutrones.
- El experimento de Davisson‑Germer confirmó experimentalmente la hipótesis de De Broglie.
- El modelo de Bohr explica la estabilidad del átomo de hidrógeno y la serie espectral de Balmer.
- Las leyes de Wien y Stefan‑Boltzmann describen la radiación de cuerpos negros, con aplicaciones en astrofísica y tecnología de sensores infrarrojos.
- El principio de incertidumbre delimita los límites de precisión en la medición de variables conjugadas, influyendo en la química cuántica y la nanotecnología.
- La inversión de población es la base del funcionamiento de láseres, que se utilizan en comunicaciones, medicina y fabricación.
Dominar estos temas no solo ayuda a resolver preguntas de examen, sino que también brinda una comprensión profunda de cómo la naturaleza se comporta a escala microscópica.
Preguntas de autoevaluación
- ¿Cómo afecta el aumento del voltaje de aceleración a la longitud de onda de un electrón?
- Derive la relación entre el número cuántico principal n y el radio de la órbita en el modelo de Bohr.
- Calcule la energía total emitida por una esfera de 1 m² a 300 K usando la ley de Stefan‑Boltzmann.
- Explique por qué la inversión de población es imposible en un sistema en equilibrio térmico.
Responder a estas preguntas reforzará la comprensión y preparará al estudiante para enfrentar exámenes de física avanzada.
