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Introducción a los porcentajes

Los porcentajes son una forma práctica de expresar proporciones y comparaciones. Un porcentaje representa una parte de cien, por lo que la notación % siempre se interpreta como "por cada 100". En este curso aprenderás a convertir porcentajes a fracciones irreducibles, a transformarlos en números decimales y a aplicar estos conceptos en problemas cotidianos.

Conversión de porcentajes a fracciones irreducibles

Para pasar de un porcentaje a una fracción basta seguir dos pasos simples:

• Escribir el número del porcentaje como numerador y 100 como denominador.
• Reducir la fracción dividiendo numerador y denominador por su máximo común divisor (MCD).

Ejemplo 1: 20 %

El 20 % equivale a \(\frac{20}{100}\). El MCD de 20 y 100 es 20, por lo que al simplificar obtenemos \(\frac{1}{5}\). Así, 20 % = \(\frac{1}{5}\).

Ejemplo 2: 23 %

Escribimos \(\frac{23}{100}\). Como 23 es primo y no comparte factores con 100, la fracción ya está irreducible: \(\frac{23}{100}\). Por lo tanto, 23 % = \(\frac{23}{100}\).

Conversión de porcentajes a números decimales

Pasar de porcentaje a decimal implica dividir el número entre 100, lo que equivale a mover la coma dos lugares hacia la izquierda.

Ejemplo 3: 31 %

\(31\% = \frac{31}{100} = 0.31\). El número decimal resultante es 0.31.

Ejemplo 4: 23 %

\(23\% = \frac{23}{100} = 0.23\). El decimal es 0.23.

Conversión de fracciones a porcentajes

Para transformar una fracción en porcentaje se multiplica por 100 y se simplifica si es necesario.

Ejemplo 5: \(\frac{14}{25}\)

\(\frac{14}{25}\times 100 = \frac{14\times 100}{25}=\frac{1400}{25}=56\). Por lo tanto, \(\frac{14}{25}=56\%\).

Aplicación práctica: cálculo de porcentajes de un total

Cuando el total es 100, el valor numérico del porcentaje coincide con la cantidad correspondiente.

Ejemplo 6: ¿Qué porcentaje de 100 es 58,5?

Dividimos la parte entre el total y multiplicamos por 100: \(\frac{58.5}{100}\times 100 = 58.5\). Así, 58,5 corresponde al 58,5 %.

Conversión de números decimales a fracciones irreducibles

Para expresar un número decimal como fracción:

• Se escribe el número sin la coma como numerador.
• El denominador será una potencia de 10 según la cantidad de cifras decimales.
• Se simplifica la fracción dividiendo por el MCD.

Ejemplo 7: 58,5

58,5 tiene una cifra decimal, por lo que lo escribimos como \(\frac{585}{10}\). El MCD de 585 y 10 es 5, y al simplificar obtenemos \(\frac{117}{2}\). Esta fracción es irreducible porque 117 y 2 no comparten factores mayores que 1. Así, 58,5 = \(\frac{117}{2}\).

Calcular un porcentaje de un número

Para hallar el p % de X se multiplica X por la fracción equivalente al porcentaje: \(\frac{p}{100}\).

Ejemplo 8: 20 % de 25

Convertimos 20 % a decimal: \(0.20\). Multiplicamos: \(0.20 \times 25 = 5\). Por lo tanto, el 20 % de 25 es 5.

Resumen de conceptos clave

• Porcentaje a fracción: \(\frac{p}{100}\) y simplificar.
• Porcentaje a decimal: dividir entre 100 (mover coma dos lugares).
• Fracción a porcentaje: multiplicar por 100.
• Decimal a fracción: escribir como \(\frac{n}{10^k}\) y simplificar.
• Calcular p % de X: \(X \times \frac{p}{100}\).

Ejercicios de práctica

A continuación, pon a prueba lo aprendido con algunos ejercicios similares a los del cuestionario original.

1. Convierte 45 % a fracción irreducible.
   Respuesta: \(\frac{45}{100}=\frac{9}{20}\).
2. Expresa 0.075 como porcentaje.
   Respuesta: 7.5 %.
3. ¿Cuál es el 15 % de 80?
   Respuesta: 12.
4. Transforma \(\frac{3}{8}\) a porcentaje.
   Respuesta: 37.5 %.
5. Escribe 0.6 como fracción irreducible.
   Respuesta: \(\frac{3}{5}\).

Conclusión

Dominar la relación entre porcentajes, fracciones y decimales es esencial tanto en la vida académica como en situaciones cotidianas, como calcular descuentos, intereses o proporciones en recetas. Con la práctica constante, estos procesos se volverán automáticos y podrás aplicarlos rápidamente en cualquier contexto.