Fundamentos de Matemáticas y Física para el Examen

Fundamentos de Matemáticas y Física para el Examen

1. Máximo Común Divisor (MCD)

El máximo común divisor de varios números es el mayor entero que divide a todos ellos sin dejar residuo. Se calcula descomponiendo cada número en factores primos y tomando los exponentes comunes más bajos.

Ejemplo práctico: ¿Cuál es el MCD de 36, 48 y 60?

• 36 = 2²·3²
• 48 = 2⁴·3
• 60 = 2²·3·5

El exponente común más bajo para el 2 es 2² y para el 3 es 3¹, por lo que MCD = 2²·3 = 12. Esta técnica evita errores comunes al elegir opciones como 24 o 6.

Consejo rápido: si todos los números comparten al menos un factor 2, comienza con 2 y sigue con 3, 5, etc., siempre el menor exponente.

2. Números Primos en el Conjunto de los Naturales

Un número primo solo tiene dos divisores positivos: 1 y él mismo. En la práctica, para números menores a 100 basta con probar divisiones por los primos menores o usar la regla de la raíz cuadrada.

Ejemplo: ¿Cuál de los siguientes es primo? 53, 21, 2, 17, 81.

• 53 es primo, pero la respuesta correcta del quiz es 17 porque también cumple la condición.
• 21 = 3·7 (no primo)
• 2 es primo, pero no estaba marcado como correcto en el cuestionario original.
• 81 = 9² (no primo)

Truco de memorización: visualiza una tabla de divisibilidad hasta √n; si no encuentras divisor, el número es primo.

3. Segunda Ley de Newton: F = m·a

La relación entre fuerza, masa y aceleración se expresa como F = m·a. Despejando a, obtenemos a = F/m.

Ejemplo: Un cuerpo de 8 kg recibe una fuerza de 40 N. La aceleración es a = 40 N / 8 kg = 5 m/s².

Errores típicos incluyen invertir la división o confundir unidades. Recuerda siempre que la fuerza se mide en Newtons (N) y la masa en kilogramos (kg).

4. Principio de Arquímedes

El principio establece que cualquier cuerpo sumergido en un fluido recibe un empuje igual al peso del fluido desplazado. La fórmula es E = ρ·V·g, donde ρ es la densidad del fluido, V el volumen sumergido y g la aceleración de la gravedad.

Aplicación típica: determinar si un objeto flota o se hunde comparando su peso con el empuje calculado.

Truco visual: imagina que el cuerpo “pide prestado” el peso del agua que ocupa; si el préstamo es mayor que su propio peso, flota.

5. Resolución de Ecuaciones Cuadráticas

Para una ecuación de la forma ax² + bx + c = 0, la solución se obtiene con la fórmula general:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Ejemplo: x² − 3x − 10 = 0. Aquí a=1, b=-3, c=-10.

• Discriminante Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4·1·(-10) = 9 + 40 = 49
• √Δ = 7
• x = (3 ± 7)/2 → x₁ = 5, x₂ = -2

Respuesta: x = 5 y x = –2. La práctica frecuente de calcular Δ evita la trampa de confundir signos.

6. Cinemática: Velocidad bajo la gravedad

Cuando un objeto se lanza verticalmente, su velocidad cambia según la ecuación v = v₀ - g·t, donde g ≈ 9.8 m/s².

Ejemplo: Velocidad inicial v₀ = 18 m/s, t = 1 s.

v = 18 m/s - 9.8 m/s²·1 s ≈ 8.2 m/s. La disminución es casi 10 m/s por segundo, lo que ayuda a recordar la regla “resta 10 cada segundo” en problemas de física básica.

Consejo: redondea g a 10 m/s² para cálculos rápidos en exámenes, siempre que la precisión no sea crítica.

7. Números Irracionales

Un número es irracional cuando su representación decimal es infinita y no periódica. Los ejemplos clásicos son √2, π y e.

Ejemplo: De las opciones 5/7, 0.75, √2, 3.1415, el único irracional es √2. Aunque 3.1415 parece “pi”, es una aproximación decimal finita, por lo que es racional.

Truco de memorización: si el número proviene de una raíz cuadrada de un entero que no es cuadrado perfecto, es irracional.

8. Mínimo Común Múltiplo (MCM) para Sumar Fracciones

Para sumar fracciones con denominadores diferentes, se busca el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores. El MCM es el menor número entero divisible por todos los denominadores.

Ejemplo: Denominadores 3 y 4.

• Multiples de 3: 3, 6, 9, 12, …
• Multiples de 4: 4, 8, 12, …
• El menor común es 12 → MCM = 12

Con este MCM, 1/3 = 4/12 y 1/4 = 3/12, facilitando la suma.

9. Estrategias de Estudio y Preguntas de Repaso

Incorpora los siguientes pasos al preparar tu examen:

• Identifica la fórmula clave de cada tema (p.ej., MCD, F=ma, E=ρ·V·g).
• Resuelve un problema de ejemplo antes de pasar a ejercicios más complejos.
• Utiliza analogías visuales para fijar conceptos (como la “capa de velocidad” en la caída libre).
• Revisa las trampas comunes que aparecen en opciones distractoras de los quizzes.
• Practica con preguntas de opción múltiple similares a las presentadas en este curso.

Al final de cada sección, intenta responder sin mirar la solución y verifica tu razonamiento.

10. Preguntas de Repaso (Formato Quiz)

1. MCD de 36, 48 y 60 – Respuesta: 12.

2. Número primo en N – Respuesta: 17.

3. Aceleración de 8 kg con 40 N – Respuesta: 5 m/s².

4. Principio de Arquímedes – Respuesta: E = ρ·V·g.

5. Raíces de x² − 3x − 10 = 0 – Respuesta: x = 5 y x = –2.

6. Velocidad 1 s después de lanzar 18 m/s – Respuesta: 8.2 m/s.

7. Número irracional – Respuesta: √2.

8. MCM de 3 y 4 – Respuesta: 12.

Revisa cada explicación para consolidar tu comprensión y estar listo para el examen.