Fundamentos de aritmética y álgebra básica

Fundamentos de aritmética y álgebra básica

Este curso está diseñado para reforzar los conceptos esenciales de aritmética y álgebra que aparecen en los exámenes de nivel básico. Cada sección aborda una pregunta típica del tipo "quiz", explicando la teoría subyacente, ofreciendo ejemplos prácticos y proporcionando ejercicios de aplicación.

1. Ley de los signos al sumar números reales

Cuando sumamos dos números reales, el signo del resultado depende de la magnitud de cada término. La regla correcta es:

• Se suman los valores absolutos de los números.
• El signo del número con mayor magnitud se conserva en el resultado.

Ejemplo:

+7 + (‑3) = +4 porque 7 tiene mayor magnitud que 3 y su signo es positivo.

Si la magnitud es igual, los signos opuestos se cancelan y el resultado es cero (sin signo).

2. Regla de tres directa

La regla de tres directa permite encontrar una cantidad proporcional cuando se conoce la relación entre dos pares de valores.

Fórmula:

Valor buscado = (Valor conocido × Nueva cantidad) / Cantidad conocida

Aplicación al problema:

Si 8 unidades cuestan $120, el costo unitario es $120 ÷ 8 = $15 por unidad. Para 15 unidades:

15 × $15 = $225. Por lo tanto, la respuesta correcta es $225.

3. Producto de fracciones negativas

Al multiplicar fracciones, el signo del producto sigue la regla de los signos de la multiplicación:

• Un número negativo × un número negativo = positivo.
• Un número positivo × un número negativo = negativo.

Ejemplo:

(‑2/5) × (‑3/7) = (+6/35). El producto es positivo porque los dos factores son negativos.

4. Cálculo de descuentos porcentuales

Para aplicar un descuento del p% a un precio original P, se resta del precio el valor del descuento:

Precio final = P – (p/100)·P

En el caso de un producto de $850 con un 12% de descuento:

Descuento = 0.12 × 850 = $102.

Precio final = 850 – 102 = $748.

5. Ley de los exponentes: multiplicación de potencias con la misma base

Cuando se multiplican potencias que comparten la misma base, se suman los exponentes:

a^m · a^n = a^{m+n}

Aplicando a la expresión (x³·x⁴):

(x³)·(x⁴) = x^{3+4} = x⁷.

6. Valor presente de una anualidad ordinaria

Una anualidad ordinaria paga una cantidad fija al final de cada periodo. El valor presente (VP) se calcula con la fórmula:

VP = R × \[ (1 – (1 + i)^{-n}) / i \]

donde:

• R = pago periódico ($500)
• i = tasa de interés por periodo (5% = 0.05)
• n = número de periodos (4)

Reemplazando:

VP = 500 × [(1 – (1.05)^{-4}) / 0.05] ≈ 500 × 3.470 ≈ $1,735.

7. Factorización de trinomios cuadráticos

Para factorizar un trinomio de la forma ax² + bx + c (con a = 1), buscamos dos números que:

• Multipliquen a c (producto = 6).
• Sumen a b (suma = 5).

Los números 2 y 3 cumplen ambas condiciones (2·3 = 6 y 2+3 = 5). Por lo tanto:

(x² + 5x + 6) = (x+2)(x+3).

8. Resolución de ecuaciones lineales

Para resolver 3x – 7 = 2x + 5:

1. Restar 2x a ambos lados: 3x – 2x – 7 = 5 → x – 7 = 5.
2. Sumar 7 a ambos lados: x = 12.

El valor de x es 12.

Resumen de conceptos clave

• Ley de los signos en la suma: se suman valores absolutos y se conserva el signo del número de mayor magnitud.
• Regla de tres directa: proporcionalidad directa entre cantidades.
• Multiplicación de fracciones negativas: dos negativos dan un producto positivo.
• Descuentos porcentuales: restar el porcentaje del precio original.
• Ley de exponentes: al multiplicar potencias con misma base, se suman exponentes.
• Valor presente de una anualidad: fórmula de descuento de flujos futuros.
• Factorización de trinomios: buscar dos números que multiplican a c y suman a b.
• Resolución de ecuaciones lineales: aislar la variable mediante operaciones inversas.

Dominar estos fundamentos permite abordar problemas más complejos en álgebra y finanzas. Practique con ejercicios adicionales y revise cada paso para consolidar su comprensión.