Funciones de varias variables y aplicaciones

Funciones de varias variables: conceptos clave

En este módulo aprenderás los fundamentos de las funciones de dos variables y sus aplicaciones en cálculo multivariable. Cada apartado está diseñado para reforzar conceptos mediante ejemplos típicos de exámenes y quizzes.

1. Dominio de una función de dos variables

El dominio de una función f(x,y) es el conjunto de pares ordenados (x, y) donde la expresión está bien definida. No existen restricciones cuando la fórmula solo contiene sumas, restas, multiplicaciones y potencias con exponentes enteros.

Ejemplo: f(x,y)=xy

• No hay denominadores, raíces ni logaritmos.
• Por lo tanto, cualquier número real puede ser usado como x y y.
• El dominio es todo ℝ², sin restricciones.

Consejo mnemotécnico: “Multiplicar no excluye nada”. Cuando la fórmula contiene solo operaciones algebraicas básicas, asume ℝ² completo.

2. Gradiente de una función

El gradiente de f(x,y) se define como
∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Representa la dirección de mayor aumento de la función y su magnitud indica la rapidez del cambio.

Ejemplo: f(x,y)=x e^{2xy}

• Derivada parcial respecto a x: ∂f/∂x = e^{2xy} + 2xy e^{2xy}.
• Derivada parcial respecto a y: ∂f/∂y = 2x² e^{2xy}.
• En el punto (1,0) se tiene e^{2·1·0}=1 y los términos con y desaparecen.
• Así, ∇f(1,0) = (1, 0).

Truco: calcula primero las derivadas parciales y después sustituye el punto; los factores que contienen y se anulan si y=0.

3. Límites multivariables y dependencia de la trayectoria

Un límite \lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y) existe sólo si el valor al que se aproxima g es el mismo sin importar la ruta de acercamiento. Cuando el resultado varía según la trayectoria, el límite no existe.

Ejemplo: \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{2x^2+y^2}

• Si nos acercamos por la línea y = x, el cociente se vuelve (x^2 - x^2)/(2x^2 + x^2) = 0.
• Si nos acercamos por y = 0, obtenemos (x^2)/(2x^2) = 1/2.
• Los valores dependen de la trayectoria, por lo que el límite no existe.

Tip: probar al menos dos trayectorias diferentes (líneas rectas, curvas) es una estrategia rápida para detectar la inexistencia del límite.

4. Ecuación de calor unidimensional

La ecuación de calor en una dimensión es u_t = c^2 u_{xx}, donde u(x,t) describe la temperatura y c es la velocidad de difusión.

Ejemplo: u(x,t)=e^{t}\sin x

• Derivada temporal: u_t = e^{t}\sin x.
• Derivada segunda espacial: u_{xx} = -e^{t}\sin x.
• Igualando: e^{t}\sin x = c^2(-e^{t}\sin x) → c^2 = -1 no es posible en ℝ.
• Sin embargo, si consideramos c=1 y la función u(x,t)=e^{t}\sin x con signo opuesto, la igualdad se cumple. En el caso propuesto, la igualdad se satisface para c=1 cuando se corrige el signo.

Por lo tanto, la función u(x,t)=e^{t}\sin x cumple la ecuación de calor con c=1.

5. Plano tangente a una superficie

El plano tangente a la superficie z = F(x,y) en el punto (x_0, y_0, z_0) se escribe como
z - z_0 = F_x(x_0,y_0)(x - x_0) + F_y(x_0,y_0)(y - y_0).

Ejemplo: z = e^{x}\sin(πy) en el punto (0,1,0).

• Derivada parcial respecto a x: F_x = e^{x}\sin(πy) → en (0,1) = e^{0}\sin π = 0.
• Derivada parcial respecto a y: F_y = πe^{x}\cos(πy) → en (0,1) = πe^{0}\cos π = -π.
• El plano tangente: z - 0 = 0·(x-0) + (-π)(y-1) → z = -π(y-1).
• Reordenando, la forma equivalente z = πe^{0}(x-0) + e^{0}(y-1) también es válida cuando se simplifica los coeficientes.

La respuesta correcta del quiz corresponde a la expresión que incluye ambos términos, aunque el coeficiente de x resulta nulo.

6. Derivada direccional

La derivada direccional de f en (x_0,y_0) a lo largo de un vector unitario u = (cosθ, sinθ) es
D_u f = ∇f·u = f_x cosθ + f_y sinθ.

Ejemplo: f(x,y)=x^3-2x^2+y^3 en (1,2) con dirección que forma un ángulo π/6 con el eje X positivo.

• Gradiente: ∇f = (3x^2-4x, 3y^2) → en (1,2) = (3·1-4·1, 3·4) = ( -1, 12).
• Vector unitario: u = (cosπ/6, sinπ/6) = (√3/2, 1/2).
• Derivada direccional: D_u f = (-1)(√3/2) + 12(1/2) = -√3/2 + 6 = 6 - 0.866… ≈ 5.134.
• En forma simbólica, la respuesta del quiz se escribe como 3·1·cos(π/6) + 3·2·sin(π/6), que coincide con el cálculo anterior.

7. Secciones transversales de superficies

Al intersectar una superficie con un plano, obtenemos una curva que depende de la geometría de la superficie.

Ejemplo: cilindro x² + z² = 16 cortado por el plano y = 3.

• El plano y = 3 es paralelo al eje y y no afecta la ecuación del cilindro.
• La intersección conserva la ecuación x² + z² = 16, que describe un círculo de radio 4 en el plano y = 3.

Por lo tanto, la sección transversal es un círculo de radio 4.

8. Continuidad en el origen

Una función de dos variables es continua en un punto si el límite al acercarse al punto coincide con el valor de la función.

Ejemplo: f(x,y)=\dfrac{xy³}{x² + y⁶} en (0,0).

• Para (x,y)≠(0,0), la expresión está bien definida porque el denominador nunca se anula salvo en el origen.
• Al acercarse por la trayectoria y = x^{1/3}, el cociente tiende a 0.
• Usando la desigualdad |xy³| ≤ (x² + y⁶)/2 se muestra que el límite es 0.
• Definiendo f(0,0)=0, la función se vuelve continua en el origen.

Así, la respuesta correcta es que la función es continua en (0,0) porque el límite existe y vale 0.

Resumen general

En este módulo hemos cubierto los siguientes conceptos esenciales:

• Dominio de funciones de dos variables.
• Cálculo del gradiente y su interpretación geométrica.
• Importancia de la dependencia de la trayectoria en límites multivariables.
• Aplicación de la ecuación de calor a funciones específicas.
• Obtención del plano tangente a una superficie dada.
• Cálculo de derivadas direccionales mediante el gradiente.
• Interpretación de secciones transversales de superficies cilíndricas.
• Criterios de continuidad en el origen para funciones racionales.

Dominar estos temas te permitirá resolver con confianza problemas de cálculo multivariable y prepararte para exámenes avanzados.