Determinantes de matrices cuadradas

Introducción a los determinantes de matrices cuadradas

Los determinantes son valores escalar que se asocian a una matriz cuadrada y que revelan propiedades fundamentales como la invertibilidad, la orientación y la dependencia lineal de sus filas o columnas. En este curso aprenderás a calcular determinantes, interpretar su significado y aplicar reglas como la de Sarrus para matrices de orden 3.

Condición de invertibilidad

Una matriz cuadrada A es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.

• Determinante ≠ 0 → A tiene inversa única.
• Determinante = 0 → A es singular y no posee inversa.

Esta condición es esencial en la resolución de sistemas lineales y en la teoría de espacios vectoriales.

Efecto del determinante en la orientación

En transformaciones lineales, el signo del determinante indica si la orientación del espacio se conserva o se invierte.

• Determinante positivo → orientación preservada.
• Determinante negativo → orientación invertida.

Por ejemplo, una transformación en ℝ² con determinante -3 invierte la orientación del plano y escala áreas por un factor de 3 (valor absoluto).

Cálculo del determinante en matrices 2×2

Para una matriz genérica \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\), el determinante se calcula como ad − bc.

Ejemplo práctico:

• Matrix A = \begin{pmatrix}3 & 5\\2 & 4\end{pmatrix}
• Determinante = (3·4) − (5·2) = 12 − 10 = 2

Interpretación de un determinante cero

Cuando el determinante de una matriz 2×2 o 3×3 es cero, se deduce que sus filas (o columnas) son linealmente dependientes. Esto implica:

• La matriz es singular y no tiene inversa.
• El sistema lineal asociado tiene infinitas soluciones o ninguna solución, dependiendo del término independiente.

En una matriz 3×3 con determinante 0, siempre podemos afirmar que sus filas son linealmente dependientes.

Regla de Sarrus para matrices 3×3

La regla de Sarrus es un método rápido para calcular el determinante de una matriz de orden 3. Consiste en:

1. Escribir las dos primeras columnas de la matriz al lado derecho de la misma.
2. Sumar los productos de las tres diagonales que van de izquierda a derecha.
3. Restar la suma de los productos de las tres diagonales que van de derecha a izquierda.

Ejemplo:

Para la matriz \begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\1&0&6\end{pmatrix}:

• Diagonales a la derecha: 1·4·6 = 24, 2·5·1 = 10, 3·0·0 = 0 → suma = 34.
• Diagonales a la izquierda: 3·4·1 = 12, 1·5·1 = 5, 2·0·6 = 0 → suma = 17.
• Determinante = 34 − 12 = 22.

En la regla de Sarrus, se resta la suma de los productos de las diagonales hacia la izquierda al total de las diagonales hacia la derecha.

Resumen de conceptos clave

• Invertibilidad: determinante ≠ 0.
• Orientación: signo del determinante (positivo = conserva, negativo = invierte).
• Determinante 2×2: ad − bc.
• Determinante 3×3: regla de Sarrus o desarrollo por cofactores.
• Determinante cero: filas o columnas linealmente dependientes, matriz singular.

Preguntas de práctica

A continuación se presentan preguntas tipo test que refuerzan los conceptos estudiados.

1. ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada sea invertible?

   • Su determinante es distinto de cero
   • Su traza es distinta de cero
   • Todas sus entradas son positivas
   • Su rango es menor que su orden

2. Si una transformación lineal en ℝ² tiene determinante -3, ¿qué efecto tiene sobre la orientación del plano?

   • Invierte la orientación y la escala por 3
   • Mantiene la orientación y la escala por 3
   • Invierte la orientación y la escala por -3
   • Mantiene la orientación y la escala por -3

3. Para la matriz 2×2 \(A = \begin{pmatrix}3 & 5\\2 & 4\end{pmatrix}\), ¿cuál es su determinante?

   • 0
   • 12
   • 2
   • 10

4. ¿Qué indica que una matriz 2×2 tiene determinante cero?

   • Su inversa existe pero es singular
   • Todas sus entradas son iguales
   • Sus filas son linealmente dependientes
   • Su traza es cero

5. Aplicando la regla de Sarrus, ¿cuál es el determinante de la matriz \(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\1&0&6\end{pmatrix}\)?

   • 12
   • 34
   • 0
   • 22

6. En la regla de Sarrus, ¿qué se resta al final del cálculo?

   • La suma de los productos de las diagonales hacia la derecha
   • El producto de la diagonal secundaria
   • El producto de la diagonal principal
   • La suma de los productos de las diagonales hacia la izquierda

7. Si una matriz 3×3 tiene determinante 0, ¿qué se puede afirmar con certeza?

   • Sus filas son linealmente dependientes
   • Todas sus entradas son positivas
   • Su traza es distinta de cero
   • Existe una única solución al sistema homogéneo asociado

8. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde al determinante de una matriz 2×2 \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)?

   • ad − bc
   • ab + cd
   • a + d − b − c
   • ac − bd