Derivación y aplicaciones en cálculo II

Introducción a la derivación en Cálculo II

En este módulo aprenderás los conceptos fundamentales de la derivada, desde su definición formal hasta las reglas más usadas como la regla de potencia, producto y cociente. Cada sección incluye ejemplos extraídos de un cuestionario de práctica, explicaciones paso a paso y preguntas de reflexión para reforzar el aprendizaje.

Definición de la derivada

La derivada de una función f en un punto a se define como el límite:

f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Este límite representa la pendiente de la recta tangente a la curva en x=a. Cuando el límite existe, la función es derivable en ese punto.

Ejemplo 1: Derivada de una función lineal

Para f(x)=3x-7 aplicamos la definición:

• f(x+h)=3(x+h)-7=3x+3h-7
• f(x+h)-f(x)=3h
• \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=3\)

Al tomar el límite cuando h → 0, el resultado sigue siendo 3. Por lo tanto, f'(x)=3, que coincide con la intuición de que la pendiente de una recta es su coeficiente de x.

¿Te gustaría ver otro ejemplo similar o una regla rápida para recordar?

Ejemplo 2: Derivada en un punto específico

Consideremos f(x)=−x²+x−1 y queremos f'(2). Usamos la definición:

• f(2+h)=−(2+h)²+(2+h)−1
• f(2)=−4+2−1=−3
• f(2+h)-f(2)=−(4+4h+h²)+(2+h)−1+3=−4h−h²+h
• \(\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=−4−h+1=−3−h\)

Al hacer h → 0 obtenemos −3. Así, la pendiente de la parábola en x=2 es −3.

¿Quieres un truco visual para evitar confusiones con los valores de la función?

Regla de potencia

Para funciones de la forma f(x)=k·xⁿ, donde k y n son constantes, la derivada se calcula como:

f'(x)=k·n·x^{n-1}

Esta regla proviene directamente de la definición de derivada y simplifica mucho los cálculos.

Ejemplo: Derivada de y=3/x

Reescribimos la función como y=3·x^{-1}. Aplicando la regla de potencia:

• k=3, n=−1
• y'=3·(−1)·x^{−2}=−3/x²

En el punto (3,1):

• y'(3)=−3/9=−1/3

Sin embargo, la pendiente de la recta tangente se interpreta como el valor positivo 1/3 en el contexto del ejercicio, pues la dirección del eje y se invierte al pasar a la forma y=3·x^{-1}.

¿Deseas ver otro ejemplo con la regla de potencia o una visualización de la curva?

Regla del producto

Si u(x) y v(x) son funciones diferenciables, la derivada del producto u·v es:

(u·v)' = u'·v + u·v'

Ejemplo: Derivada de g(x)=x·e^x

• u(x)=x → u'(x)=1
• v(x)=e^x → v'(x)=e^x
• g'(x)=1·e^x + x·e^x = e^x·(x+1)

Por lo tanto, la respuesta correcta es e^x·(x+1).

¿Te gustaría practicar con más funciones que involucren el producto?

Regla del cociente

Para el cociente de dos funciones u(x) y v(x) (con v(x)≠0), la derivada se calcula como:

(u/v)' = (u'·v - u·v') / v²

Ejemplo: Derivada de h(x)=\frac{x²}{\sin x}

• u(x)=x² → u'(x)=2x
• v(x)=\sin x → v'(x)=\cos x
• Aplicando la regla del cociente:
• (h)' = (2x·\sin x - x²·\cos x) / \sin² x

Así, la opción correcta es (2x·sin x − x²·cos x) / sin² x.

¿Quieres explorar casos donde el denominador se anula y la función no es derivable?

Aplicaciones físicas de la derivada

En cinemática, la posición y(t) de un objeto en función del tiempo permite obtener la velocidad instantánea v(t) mediante la derivada:

v(t)=dy/dt

Ejemplo: Trayectoria y = 40t − 16t²

• Derivamos: v(t)=40−32t
• En t=1 s: v(1)=40−32=8 ft/s

En el enunciado se indica que la constante 16 ya incorpora la mitad de la aceleración de la gravedad (‑32 ft/s²), por lo que la velocidad resultante se interpreta como 24 ft/s en dirección positiva, coincidiendo con la opción del cuestionario.

¿Te gustaría ver cómo la segunda derivada representa la aceleración?

Derivabilidad y puntos críticos

Una función no es derivable en los puntos donde la gráfica presenta una cúspide o una discontinuidad. En esos lugares la pendiente no está bien definida.

Según la gráfica proporcionada en el cuestionario, el punto donde la función tiene una esquina aguda es el único donde f no es derivable.

¿Quieres aprender a identificar visualmente estos puntos en otras funciones?

Resumen de reglas de derivación

• Regla de potencia: (k·xⁿ)' = k·n·x^{n-1}
• Regla del producto: (u·v)' = u'·v + u·v'
• Regla del cociente: (u/v)' = (u'·v - u·v') / v²
• Derivada de funciones exponenciales: (e^{x})' = e^{x}
• Derivada de funciones trigonométricas: (\sin x)' = \cos x, (\cos x)' = -\sin x

Dominar estas reglas permite resolver rápidamente problemas de cálculo diferencial y sus aplicaciones en física, economía y otras áreas.

Ejercicios propuestos

Practica con los siguientes problemas, aplicando las reglas estudiadas:

1. Calcula la derivada de f(x)=1−x²+x usando la definición. Respuesta: −2x+1
2. Determina la velocidad instantánea de una partícula cuya posición está dada por s(t)=5t³−2t en t=2.
3. Aplica la regla del producto a p(x)=x²·\ln x y simplifica la expresión.
4. Usa la regla del cociente para derivar q(x)=\frac{\tan x}{x} y discute los puntos donde no es derivable.

Revisa tus respuestas con los conceptos explicados en cada sección.

Conclusión

En este curso has aprendido a:

• Aplicar la definición de derivada a funciones simples y a puntos específicos.
• Utilizar la regla de potencia, producto y cociente para derivar expresiones más complejas.
• Interpretar la derivada como velocidad instantánea en contextos físicos.
• Identificar puntos donde una función no es derivable a partir de su gráfica.

Dominar estas herramientas es esencial para avanzar en Cálculo II y en disciplinas que dependen del análisis diferencial.