Unidad Didáctica V - Integrales Definidas

Introducción a las integrales definidas

Una integral definida representa el límite de una suma de Riemann cuando el ancho de los subintervalos, denotado por Δx, tiende a cero. Este proceso transforma una aproximación mediante rectángulos en un valor exacto que corresponde al área bajo una curva en un intervalo cerrado [a,b].

Método de aproximación: suma de Riemann

Para aproximar el área bajo una curva se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos y se construyen rectángulos cuya altura se evalúa en un punto del subintervalo. Existen dos versiones habituales:

• Riemann izquierda: se usan los valores iniciales de cada subintervalo.
• Riemann derecha: se usan los valores finales de cada subintervalo.

Cuantos más subintervalos se utilicen, más precisa será la aproximación; en el límite, cuando n → ∞, la suma se vuelve exacta y define la integral.

Propiedades fundamentales

Las integrales definidas poseen varias propiedades que facilitan su manipulación:

• Linealidad: la constante puede extraerse fuera de la integral, es decir, ∫_a^b c·f(x)dx = c·∫_a^b f(x)dx.
• Aditividad: la integral sobre un intervalo se puede dividir en subintervalos contiguos: ∫_a^c f = ∫_a^b f + ∫_b^c f.
• Monotonía: si f(x) ≤ g(x) en [a,b], entonces ∫_a^b f ≤ ∫_a^b g.

Es importante notar que la integral no siempre es positiva; su signo depende del valor de la función en el intervalo. Si la función está por debajo del eje, la integral será negativa.

Teorema Fundamental del Cálculo (TFC)

El TFC conecta derivadas e integrales en dos partes:

1. Parte 1: si F(x)=∫_a^x f(t)dt y f es continua en [a,b], entonces F'(x)=f(x). La hipótesis es la continuidad de f; la tesis es la igualdad de la derivada con la función original.
2. Parte 2: para cualquier antiderivada F de f, se tiene ∫_a^b f = F(b)-F(a). Esta fórmula permite calcular áreas sin necesidad de límites infinitos.

En una integral definida, la constante de integración desaparece al evaluar los límites, pues se resta la misma constante en F(b) y F(a). En contraste, en una integral indefinida la constante permanece.

Cálculo de áreas

Para una función positiva f(x) ≥ 0 en [a,b], el área bajo la curva se obtiene directamente mediante ∫_a^b f(x)dx. Si la función es negativa, el valor de la integral será negativo, reflejando que el área está por debajo del eje.

Cuando se desea el área entre dos curvas f(x) y g(x) con f(x) ≥ g(x) en el intervalo, la expresión es ∫_a^b [f(x)-g(x)]dx. Si la relación se invierte (f ≤ g), la integral resultante será negativa y debe tomarse el valor absoluto para obtener una medida de área.

Aplicaciones económicas

En economía, las integrales definidas permiten cuantificar excedentes:

• Excedente del consumidor: área entre la curva de demanda y el precio de mercado.
• Excedente del productor: área bajo el precio de mercado y encima de la curva de oferta.

Estos excedentes no tienen una relación fija de magnitud; su comparación depende de la forma y posición de las curvas de oferta y demanda.

Integrales impropias

Una integral se clasifica como impropia cuando alguno de los siguientes casos ocurre:

• Los límites de integración son infinitos.
• La función presenta una discontinuidad dentro del intervalo.

Ejemplo típico: ∫_1^{∞} 1/x^2 dx. No todas las integrales impropias divergen; algunas convergen a un valor finito, como la anterior, mientras que otras, como ∫_1^{∞} 1/x dx, divergen.

En integrales impropias la hipótesis de continuidad del TFC no se verifica en todo el intervalo, lo que impide aplicar directamente la parte 1 del teorema.

Resumen de diferencias clave

Dominar estos conceptos permite abordar problemas de cálculo, física y economía con confianza, utilizando la integral definida como herramienta central para medir áreas, volúmenes y cantidades acumuladas.